절댓값


1 개요[편집]

절댓값(絶對-, absolute value)은 실수복소수 (또는 사원수)에 대하여, 수직선이나 복소평면의 원점에서부터 그 수까지의 거리로, 의 특수한 경우이다. 기호로 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다.

2 실수[편집]

실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, 절댓값 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]

[math]\displaystyle{ |x| := \begin{cases} x, & \textrm {if } x \ge 0 \\ -x, & \textrm{if } x \lt 0. \end{cases} }[/math]

으로 정의한다. 절댓값은 완전 곱셈적 함수이며, 거리함수의 일종이므로 삼각부등식이 성립하는 등의 성질을 만족한다.

  • [math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^2} }[/math] (거듭제곱으로의 표현)
  • [math]\displaystyle{ |x|=x/\operatorname{sgn}(x) \quad \textrm{if }x\ne 0 }[/math] (부호함수로의 표현)
  • [math]\displaystyle{ |x| \ge 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |xy| = |x||y| }[/math] (완전 곱셈적)
  • [math]\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y| }[/math] (삼각부등식 1)
  • [math]\displaystyle{ \left||x|\right| = |x| }[/math] (멱등성)
  • [math]\displaystyle{ |-x| = |x| }[/math] (우함수)
  • [math]\displaystyle{ |x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |x-y| \le |x-z| + |z-y| }[/math] (삼각부등식 2)
  • [math]\displaystyle{ |x-y| \ge \left||x|-|y|\right| }[/math] (삼각부등식 3)
  • [math]\displaystyle{ |x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y }[/math]
  • [math]\displaystyle{ |x| \ge y \Leftrightarrow x \le -y\le 0\ \textrm{ or }0 \le y \le x }[/math]

3 복소수[편집]

복소수 [math]\displaystyle{ z=\Re z + i\Im z }[/math]에 대하여

[math]\displaystyle{ |z| := z / \operatorname{sgn} z =\sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2} }[/math]

으로 정의한다. 실수에서의 성질 중, 순서 관계가 있는 것은 사용하지 못한다.

4 절댓값과 그래프[편집]

절댓값이 포함된 그래프를 그릴 때는, 절댓값의 변수가 양수일 경우와 음수일 경우, 두 가지로 나눈 뒤 각각의 그래프를 그려주면 된다. 대체로 뾰족하게 꺾이는 점이 있거나 아니면 상수함수인 부분이 존재하거나 한다. 만약 함수가 [math]\displaystyle{ y=\left|f\left(x\right)\right| }[/math]의 형태라면, 먼저 [math]\displaystyle{ y=f\left(x\right) }[/math]의 그래프를 그려준 뒤, [math]\displaystyle{ x }[/math]축 아래에 해당하는 부분을 접어 올려주면 된다. [math]\displaystyle{ y=f\left(\left|x\right|\right) }[/math]의 경우는 함수가 우함수이기 때문에 양의 [math]\displaystyle{ x }[/math]축 부분만 그려준 뒤 [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 대칭시켜 주자. [math]\displaystyle{ \left|y\right|=f\left(\left|x\right|\right) }[/math]의 경우는 [math]\displaystyle{ x }[/math]축, [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 모두 대칭이다.

5 같이 보기[편집]