유클리드의 원론/6권

원론 6권에서는 도형의 면적의 비례와 닮은꼴에 대해 주로 언급하고 있다. 

정의

1. 두 다각형(A, B)이 서로 대응하는 각의 크기가 같고, 서로 대응하는 변의 길이가 같을 때 두 다각형을 닮은꼴(Similar)이라고 한다.

2. 두 다각형 A, B에 대해 서로 대응하는 각을 구성하는 두 변(만일 A의 각 ∠X랑 B의 각 ∠Y가 어떤 각의 일대일대응의 순서쌍일 때 각 ∠X를 두르는 두 변과 각 ∠Y를 두르는 두 변)이 있다. 이 때 그 대응하는 두 쌍의 변의 곱이 같을 때 두 도형이 "교대적 비례관계를 가진다(Reciprocally Related)"라고 부른다.

3. 어떤 선분 AB가 주여지고, 그 중간의 점 C가 선분을 나눌 때 전체에 대한 큰 조각의 비율이 큰 조각에 대한 작은 조각의 비율과 동일할 때 그 선분은 황금비율로 나누어진다(Cut in extreme and mean ratio)고 한다.

4. 어떤 도형의 높이(Height)는 그 도형의 한 꼭지점에서 밑변에 그은 수선의 길이를 의미한다.

 

정리

모두 33가지가 있다. 단순히 말로는 설명하기 쉽지 않으니 편의상 기호를 이용해서 도형을 묘사한다.

1. 높이가 같은 삼각형과 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이와 비례 관계에 있다.

2. 어떤 삼각형 내부의 선분이 한 선분에 평행하다면(DE//BC), 그 선분의 두 끝점은 나머지 두 변을 같은 비율(AD:AB=AE:AC)로 나눈다. 반면에, 한 꼭지점에 대해 그 꼭지를 포함하는 두 변에 대해 각각의 변 위에 있는 점들이 변을 나눈 비율이 같으면(AD:AB=AE:AC) 그 두 점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하다(DE//BC).

3. 어떤 삼각형에서 각이 이등분되면(∠A), 이 이등분선이 밑변 BC를 나누는 점을 D라고 놓자. 그렇다면 나머지 두 변(AB, AC)의 비율은 나뉘어진 밑변(BD, CD)의 비율과 일치한다. 즉, AB:AC=BD:DC이다.

4. 두 삼각형이 대응하는 각이 모두 같으면 같은 크기의 각의 쌍에 마주하는 세 쌍의 변은 서로 비례관계에 있다. (AA닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 26번)

5. 만일 두 삼각형이 서로 대응하는 변이 모두 같으면, 두 삼각형의 대응하는 변의 맞은각의 크기는 서로 같다.( 4번의 역입니다, 닮은 꼴인 두 삼각형은 대응하는 각의 크기가 같다는 뜻이다. SSS닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 8번)

6. 만일 두 삼각형이 크기가 같은 각(∠A=∠D)을 하나 공유하고 있고, 그 각을 구성하는 두 쌍의 변이 변의 길이비율을 공유하고 있으면(AB:DE=AC:DF) 두 삼각형은 서로 대응하는 각의 크기가 같고 나머지 한 쌍의 변의 비율을 보존한다. (SAS닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 4번)

7. 만일 두 삼각형이 크기가 같은 각을 하나 공유하고 있고(∠A=∠D), 그 각 이외의 다른 대응되는 각(예시 ∠B, ∠E)을 구성하는 두 쌍의 변에 대한 비율이 같고(예 : BA:ED=BC:EF), 그 각들(∠B, ∠E)이 모두 직각보다 작거나 직각보다 더 크면 두 삼각형은 서로 대응하는 각의 크기가 같고, 나머지 한 쌍의 변의 비율을 보존한다. (ASS닮음, ASS가 같은 두 삼각형은 한 가지 또는 두 가지 형태로 나올 수 있다)

8. 어떤 직각삼각형 ABC가 주여졌을 때 직각인 각 C에서 맞은변에 수선을 내린다. 그러면 이 수선을 한 변으로 하는 작은 삼각형 CAD와 CDB는 모두 전체 삼각형 ABC와 닮은꼴이 된다.

따름정리 : 정리 8번에서 수선의 길이는 밑변의 두 조각의 길이의 기하평균이 된다. 즉 CD:AD=DB:CD이다.

9. 주어진 선분 AB를 정해진 (유리수) 비율대로 나눌 수 있다.(여기서 정해진 비율은 특정한 유리수를 의미하며, 아무 유리수 비율로 나눌 수 있다는 것을 의미한다.)

10. 나누어지지 않은 선분 AB와 점 E로 나뉘어진 선분 CD가 있을 때 그 선분과 나뉘어진 비율이 같게 선분 AB를 나눌 수 있다. (다시 말해 AF:CE=FB:ED가 되게 나눌 수 있다는 것을 의미한다.)

11. 두 선분 a, b가 주어졌을 때 세 번째 선분 c가 비례관계에 있게 선분을 만들 수 있다. (즉, a:b=b:c를 만족하게 하는 선분 c를 작도할 수 있다는 것을 의미한다.)

12. 세 선분 a,b,c가 주여졌을 때 a:b=c:d의 비례식을 만족하는 네 번째 선분 d를 만들 수 있다.

13. 두 선분 a, b가 주어졌을 때 a:c=c:b를 만족하는 선분 c를 작도할 수 있다. (이것은 두 선분 a, b의 기하평균 c를 작도할 수 있음을 의미합니다. 2권 정리 14번 참조.)

14. 면적이 같고, 서로 대응되는 각이 같은 두 평행사변형의 인접한 변의 쌍은 "교대적 비례관계"를 가진다. 한편 서로 대응하는 각이 같고, 인접한 두 쌍의 변이 "교대적 비례관계"를 가지면, 두 평행사변형의 면적이 같다. (평행사변형의 면적공식을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.)

15. 면적이 같고, 서로 대응되는 각이 같은 두 삼각형이 있다. 이 때 서로 대응하는 두 쌍의 변은 "교대적 비례관계"를 가진다. 한편 서로 대응하는 각이 같고, 서로 대응되는 두 쌍의 변이 "교대적 비례관계"를 가지면, 두 삼각형의 면적이 같다. (14번 정리를 삼각형으로 변형시킨 것.)

16. 만일 네 선분이 서로 비례관계를 가지고 있으면(a, b, c, d), 가장 짧은 변과 가장 긴변으로 구성된 직사각형의 넓이는 두 중간의 변으로 구성된 직사각형의 넓이와 같다. (ad=bc), 한편 네 선분이 주어졌을 때 가장 짧은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넓이가 두 중간변으로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하면 네 선분은 서로 비례관계를 가진다.

17. 만일 세 선분이 서로 비례관계를 가지고 있으면(a,b,c), 가장 짧은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넓이는 중간변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다(ac=b^2), 한편 세 선분이 주여졌을 때 가장 잛은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넒이가 가운데 길이변을 한 변으로 하는 정사각형의 넒이와 같으면 세 선분은 서로 비례관계를 갖는다.

18. 어떤 다각형과 변이 주어졌을 때 그 변을 한 변으로 하면서 주어진 다각형과 닮은꼴인 다각형을 작도할 수 있다. (그 다각형을 대각선을 통해 삼각형의 모임으로 나눌 수 있고, 세 각이 같은 삼각형은 닮은꼴이라는 정리를 이용해서 닮은꼴 삼각형의 조합으로 만들 수 있다.)

19. 두 삼각형이 닮은 꼴일 때(ABC∝DEF) 면적의 비율은 서로 대응되는 한 변의 제곱의 비율과 동일하다. (ABC:DEF=AB²:DE²) (두 두형이 닮은 꼴일 때 면적비율은 변의 비율의 제곱과 비례한다는 것을 설명한다.)

따름정리 : 만일 a, b, c가 비례관계에 있고, a를 한 변으로 하는 삼각형과 b를 한 변으로 하는 삼각형이 서로 닮은 꼴이면서 a와 b가 닮은꼴의 대응관계에 있다. 그렇다면 두 삼각형의 면적의 비율은 a와 c의 비율과 일치한다.

20. 두 다각형 A와 B가 닮은꼴이라고 하고, a,b는 A의 인접한 두 변, c, d는 a,b와 대응되는 두 변이라고 하며, a,b의 끝점을 이은 대각선을 e, c,d의 끝점을 이은 대각선을 f라고 놓자. 그렇다면 삼각형 abe와 cdf는 서로 닮은꼴이고 abe:cdf=A:B=a²:c²가 성립한다. (닮은꼴 다각형의 부분으로 구성된 다각형은 대응되는 변과 대각선이 일치할 때 전체 다각형의 비율과 동일한 비율로 닮은꼴이 된다는 것을 의미합니다.)

따름정리 : 어떤 두 다각형 A와 B가 닮은꼴이고, A의 한 변 a와 B의 한 변 b가 닮은꼴에서 대응될 때 A:B=a²:b²가 성립한다.

21. 도형 A, B, C에 대해 A와 B가 닮은꼴이고, B와 C가 닮은꼴일 때 A와 C도 닮은꼴이다.

22. 네 선분 a,b,c,d가 a:b=c:d의 비례관계를 가진다. 또한 A, B가 서로 닮은꼴이면서 a와 b가 서로 대응되고, C, D가 서로 닮은꼴이면서 c와 d가 서로 대응될 때 넓이에 대해 A:B=C:D의 비례식을 만족한다. 한편 A, B가 서로 닮은 꼴이고, C, D가 서로 닮은 꼴일 때 A:B=C:D를 만족하면 닮은꼴에 대응하는 a와 b, c와 d에 대해 a:b=c:d를 만족한다.

23. 두 평행사변형 A ,B가 같은 각을 공유하면 넓이의 비율은 인접한 두 변의 곱에 비례한다. (즉, A의 인접한 변 a,b와 B의 인접한 변 x,y에 대해 A:B=a*b:x*y가 성립함을 보입니다. 정리 14번의 일반화라고 생각하시면 됩니다.)

24. 만일 평행사변형 A에서 대각선 위의 점 X에 대해 변에 평행한 두 변을 작도한다. 그렇다면 대각선 위에 두 평행사변형 조각은 서로 닮은꼴이며, 이것은 전체 평행사변형 A과도 닮은꼴이다.

25. 두 다각형 A,B가 주여젔을 때 A와 넒이가 같으면서 B와 닮은꼴인 도형을 작도할 수 있다.

26. 두 평행사변형 A, B가 존재한다. 이 때 A와 B가 닮은꼴이면서 한 각을 "정확하게" 공유하고 있으면 그 공유한 각에 대한 A, B의 대각선은 일직선위에 있다. (정리 24번의 역.)

27. 평행사변형 A가 존재한다. 여기서 A를 이등분하는 평행선 l이 존재한다. 이등분된 평행사변형을 B, C라고 놓을 때 C의 대각선을 m이라고 놓자. 그렇다면 대각선 m위의 점을 꼭지점으로 하는 평행사변형의 존재를 D라고 놓자. 그렇다면 D는 B보다 작다.

28. 주어진 다각형 A와 변 UV, 평행사변형 B가 주어졌다. 이 때 변 UV를 절반으로 나누고, 중점을 X라고 놓자. UX를 밑변으로 하고 B와 닮은꼴인 평행사변형 C가 A보다 작지 않다고 하자. XV를 밑변으로 하고 C와 높이가 같은 평행사변형 D의 대각선 중 V를 지나는 대각선을 l이라고 놓자. 그렇다면 l 위의 점 중 이 점을 U와 반대편 꼭지점으로 하면서 주어진 다각형 A와 넓이가 같은 점이 존재한다.

29. 주어진 다각형 C와 평행사변형 D, 변 AB가 주어진다. 그러면 변 AB를 한 변으로 하고 면적 C와 같은 평행사변형 E를 작도할 수 있다. 그리고 이것보다 작지 않으면서 평행사변형 D와 닮은꼴인 평행사변형 F를 작도할 수 있다.

30. 주어진 선분을 황금비율(extreme and mean ration)로 나눌 수 있다.

31. 직각삼각형 A에서 각 변 a,b,c(a,b는 직각의 변, c는 빗변)를 한 변으로 하는 세 다각형 B,C,D가 존재한다. 이 때 B, C,D가 서로 닮은꼴이고, 변 a,b,c가 B, C, D의 닮은꼴에서 서로 대응되는 변일 때 가장 큰 다각형 D의 넓이는 B와 C의 넓이의 합과 같다. (1권 정리 47번 피타고라스의 정리의 일반형)

32. 만일 두 삼각형 A, B가 꼭지점 하나를 공유하고 있고, A의 변 a와 B의 변 d, A의 변 b와 B의 변 e가 서로 평행하면서 a:d=b:e를 만족한다. (자연스럽게 a와 d중 하나랑 b와 e중 하나는 공유하는 꼭지점을 지나가지 않습니다.) 그렇다면 A의 나머지 변 c와 B의 나머지 변 f는 일직선상위에 있다.

33. 두 원 A와 B가 동일할 때 A의 원호인 l과 B의 원호인 m의 길이의 비율은 각각의 중심각의 비율이나 원주각의 비율과 일치한다. (즉 l의 중심각을 ∠X, 원주각을 ∠Y, m의 중심각을 ∠Z, 원주각을 ∠W로 놓을 때 l:m=∠X:∠Z=∠Y:∠W로 놓을 수 있습니다.)

참조

• 빛의 편지 블로그 - 원론 6권 정리
• D.E.Joyce 교수 원론 6권 설명