진술
함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x)\ge 0 }[/math]이고 단조감소한다고 가정하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_1^\infty f(x)dx }[/math]
가 수렴하는 것이다.
증명
[math]\displaystyle{ f\left(n\right)=a_n }[/math]이라 정의하자. 모든 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k, \forall x \in \left[k, k+1\right] }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ n \geq 2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1} }[/math]이다. 각 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_k\gt 0 }[/math]이므로 수열 [math]\displaystyle{ \left\{S_n\right\} }[/math]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt 0 , x \in [1, \infty ) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]는 유계이고 따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다. 역으로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 위로 유계이므로 마찬가지로 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다.
예시
다음 급수는 적분판정법을 이용해 수렴함을 보일 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\varepsilon}},\;(\varepsilon \gt 0) }[/math]
다음 급수는 적분판정법을 이용해 발산함을 보일 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) }[/math]