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벡터

(이 문서 뭔가 이상한 것 같아 고치려 합니다. AC도 없이 순서쌍을 쓰면...) 벡터 공간(vector space)은 덧셈 연산과 스칼라곱(scalar multiplication)이 잘 정의되어 있으며 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등이 성립하는 공간이다. 이 공간의 원소를 벡터(vector)라 하며, 직관적으로는 크기와 방향을 가진 대상이라 할 수 있다. 물론 노름이 주어지지 않은 공간에서는 벡터의 크기를 정의할 수 없다. 벡터 공간에 내적이라는 벡터 사이 연산을 추가하여 내적 공간(inner product space)을 만든다.

정의

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대한 벡터 공간은 다음 조건을 만족하는 [math]\displaystyle{ (V, +, \mathrm{SM}) }[/math]을 말한다. 이때 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소를 벡터라 하고 [math]\displaystyle{ +:V\times V \ti V }[/math]를 덧셈, [math]\displaystyle{ \mathrm{SM}:F\times V \to V }[/math]을 스칼라곱이라 한다.

• [math]\displaystyle{ (V, +) }[/math]는 아벨 군이다. 즉, 결합 법칙과 교환 법칙을 만족하며 항등원과 임의의 원소에 대한 역원이 존재한다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in F, v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a(bv)=(ab)v. }[/math]
• 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 곱셈에 대한 항등원 1과 임의의 [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ 1v = v. }[/math]
• 분배 법칙: 임의의 [math]\displaystyle{ a, b\in F, u, v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ (a+b)(u+v)=au+bu+av+bv. }[/math]

벡터 공간의 체가 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]로 주어진 경우 실-벡터 공간(real vector space)이라 하고, [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]로 주어진 경우 복소-벡터 공간(complex vector space)이라 한다.

주어진 벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ W }[/math]이 ([math]\displaystyle{ V }[/math]의) 덧셈과 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으면 이를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 (선형) 부분공간(subspace)라 한다. 즉 부분공간은 벡터 공간을 이루는 부분집합이다.

기저와 차원

벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \mathbf S }[/math]가 생성한 부분공간 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math] (또는 [math]\displaystyle{ \operatorname{span} S }[/math])을 [math]\displaystyle{ S }[/math]를 포함하는 가장 작은 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간으로 정의한다. 즉, [math]\displaystyle{ S\subseteq \langle S \rangle \le V }[/math]이면서 [math]\displaystyle{ S\subseteq W \le V \implies \langle S \rangle \le W }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]를 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 생성한 부분공간이라고 한다. 이는 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소의 임의의 일차결합으로 이루어진 집합과 같다. 또한 이는 유일하게 존재한다.

만약 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성하는 집합이 일차독립(linear independent)이면, 이 집합을 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis) [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 차원(dimension) [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card}) }[/math]이라고 한다. 선택 공리를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.

선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 [math]\displaystyle{ F }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]은 [math]\displaystyle{ \oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} F }[/math]와 같다. 즉 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 그 차원만큼 직합(direct sum)하면 그 벡터 공간과 똑같은 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.

선형 사상

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]와 [math]\displaystyle{ F }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]을 선형 사상(선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 [math]\displaystyle{ \mathfrak{L}(V, W) }[/math]은 벡터 공간을 이룬다.만약 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 행렬로써 나타낼 수 있다. 선형대수학의 기본 정리에 의하여 선형 변환은 행렬과 완전히 같기 때문이다.

결합기하학

결합기하학(incidence geometry)은 결합구조를 연구하는 학문이다. 해석기하학과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.

결합구조

[math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math], [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]([math]\displaystyle{ \mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset }[/math]) 와 [math]\displaystyle{ \mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I) }[/math]을 결합구조(incidence structure), 또는 기하학적 구조(geometric structure)라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]이 유한이면, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]를 유한결합구조라 한다. 여기서 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]는 점들의 집합이고, [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]은 선들의 집합이다. [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]의 교집합이 공이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.

주어진 점 [math]\displaystyle{ p, q\in\mathscr P }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]는 jointed라 하고, 만약 위를 만족하는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 단 하나 존재하면 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 join이라 하고 [math]\displaystyle{ pq:=L }[/math]로 쓴다.) 비슷하게, given [math]\displaystyle{ L, M\in \mathscr L }[/math], if [math]\displaystyle{ \exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I }[/math], we say [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] meet, and we say [math]\displaystyle{ p }[/math] is decided by [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] if there is only one point [math]\displaystyle{ p }[/math](we call it the intersection [math]\displaystyle{ p:=L\cap M }[/math].) And also denote [math]\displaystyle{ [p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I] }[/math] and omit [math]\displaystyle{ \mathscr I }[/math].

평면

We shall call incidence structures [math]\displaystyle{ \pi=(\mathscr P , \mathscr I) }[/math] satisfying following axioms planes:

• [math]\displaystyle{ \forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L. }[/math]

아핀 평면

We call incidence structures satisfying following axioms affine planes:

• [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M. }[/math] ([math]\displaystyle{ L \| M }[/math] means [math]\displaystyle{ \not \exists L \cap M }[/math].)

And every affine plane is a plane.

실-아핀 평면

We call incidence structures [math]\displaystyle{ \alpha_\mathbb R }[/math] satisfying following axioms real affine planes:

• [math]\displaystyle{ \mathscr P \subseteq \mathbb R^2, }[/math]
• [math]\displaystyle{ L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \}, }[/math]
• [math]\displaystyle{ (x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0. }[/math]

And every real affine plane is an affine plane.

뉴턴의 운동 법칙

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 아이작 뉴턴에 의해 정립된 세 가지 물리 법칙이다.

제1 법칙: 관성의 법칙

외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 속도 (또는 운동량)을 가지고 운동한다.

관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 관성기준틀(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.