유클리드의 원론/1권

소개

유클리드의 원론 제 1권은 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형에 대한 간단한 설명이 나온다. 1권은 23개의 정의, 5개의 공준과 5개의 상식을 기초로 논리를 전개하고 있다.

정의

1. 점(point)은 부분(part)이 없는 것이다.

2. 선(line)은 폭(breadth)이 없는 '길이(length)'다.

3. 선의 끝(the edge of line)은 점이다.

4. 직선(straight line)은 점이 일정하게 놓인 선이다.

5. 면(surface)는 길이와 폭만을 갖는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면(plane surface)은 직선이 일정하게 놓인 면이다.

8. 평면각(plane angle)은 평면 위의 두 직선이 만나서 생기는 것이다.

9. 각을 형성하는 두 선이 직선일 때 곧은 각(rectilinear)이라고 한다.

10. 한 직선이 다른 직선과 만나 나누어 생긴 두 각의 크기가 같을 때 두 각을 직각(Right angle)이라고 한다.

11. 직각보다 더 큰 각을 둔각(Obtuse angle)이라고 한다.

12. 직각보다 더 작은 각을 예각(Acute angle)이라고 한다.

13. 경계(Boundary)는 모든 것(기하학적 객체)의 끝부분을 말한다.

14. 도형(Figure)이란 (모든 방향으로) 경계를 가진 것이다.

15. 원(Circle)이란 평면상의 한 점에 대해 그 점과 거리가 같은 점들을 경계로 하는 도형이다.

16.그리고 15번에서 그 평면상의 그 점을중심(Center)이라고 한다.

17. 지름(Diameter)이란 원의 중심을 지나는 임의의 직선에 대해 원과 만나는 두 점 사이의 부분을 말한다.

18. 반원(Hemicircle)이란 원의 한 지름과 지름에 의해 나누어진 호를 경계로 하는 도형이다,

19. 다각형(Rectilinear Figure)이란 (유한한) 직선 경계를 가지는 객체이다. 경계를 형성하는 직선이 3개면 삼각형(Triangle), 4개면 사각형(Quadrilateral), 4개를 넘을 때 다각의(Multilateral) 도형이라고 한다.

20.삼각형 중에 세 변의 길이가 같으면 정삼각형(Equilateral Triangle),두 변의길이가 같으면 이등변삼각형(Isosceles triangle), 세 변의 길이가 모두 다르면 부등변삼각형(Scalene Triangle)이라고 한다.

21. 또한삼각형 중 직각을 갖고 있으면 직각삼각형(Right-angled Triangle), 둔각을 갖고 있으면 둔각삼각형(Obtuse Triangle), 예각만 갖고 있으면 예각삼각형(Acute Triangle)이라고 한다.

22. 사각형 중 등변이며, 직각으로 둘러쌓인 사각형을 정사각형(Square), 직각으로 둘러쌓였지만 등변이 아니면 직사각형(Oblong or Rectangle), 등변이지만 직각으로 둘러쌓이지 않은 사각형을 마름모(Rhombus), 마주보는 변(대변-對邊)과 각(대각-對角)이 서로 같지만 변의 길이도 각도도 모두 같지 않으면 평행사변형(Parallelogram or Rhomboid)이라고 한다.

23. 두 직선이 평행하다(Two lines are Parallel)이라는 말은 두 직선이 같은 방향을 가진다는 말이다. 다시 말해 두 직선은 만나지 않는다는 소리이다.

공준과 상식

공준(Postulates)과 상식(Common Notion)은 유클리드 원론에서의 모든 기하학적인 대상에 대해 설명하고 있다. 다만 공준은 기하학적인 객체에 한정한 공리인 반면 상식은 기하학적인 객체 이외에도 모든 수학적 대상에 대한 공리라고 볼 수 있다.

공준 :

1. 임의의 점에서 임의의 점 사이로 직선을 그을 수 있다.

2. 임의의선분을 연장해서 그을 수 있다.

3. 임의의 점을 중심으로 특정한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 1개의 직선과 2개의 직선이 만날 때 서로 마주보는 각(이것을 동측내각이라고 합니다)의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 두 직선이 만난다.

상식 :

1. 같은 것끼리는 서로 같다. 즉, A=B, B=C이면 A=C.

2. 같은 것을 더해서 같은 것은 서로 같다. 즉, A+C=B+C이면 A=B.

3.같은 것을 빼서 같은 것은 서로 같다. 즉, A-C=B-C이면 A=B.

4. 서로 대응하는 것이 완전히 일치하는 것은 서로 같다.

5. 전체는 부분보다 더 크다.

정리 목록

각 정리의 증명과정은 D.E.Joyce 교수의 원론 정리 증명 문서를 참조할 것.

1. 주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도할 수 있다.

2. 주어진 선분 밖의 한 점을 끝점으로 하여 주어진 선분을 이동시킬 수 있다.

3. 두 선분이 주어지면 긴 선분에서 짧은 선분을 자른 길이를 가진 선분을 작도할 수 있다.

4. 두 삼각형이 서로 대응하는 두변의 길이와그 두 변 사이에 존재하는 존재하는대응하는 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 합동이고 나머지 대응하는 각과 변의 크기도 동일하다.

5. 이등변삼각형에서 등변의 하나와 밑변이 이루는 두 각(밑각)의 크기는 같다.

6.(5의 역)삼각형에서 두 각의 크기가 같으면 그두 각이 공유하지 않은 각각의 두 변의 길이는 같다.

7.선분a의 양 끝점을 지나는 직선 b와 직선 c가 존재할 때 선분 a의 양 끝점과 직선 b, c의 교점의 거리를 측정한다. 이 때 한 쪽 방향에서 b, c의 교점과 a의 양 끝점과의두 거리가 정확하게 일치하는 점은 존재하지 않는다.

8. 대응하는 세 쌍의 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이며, 대응하는 각의 크기도 서로 같다.

9. 주어진 각을 이등분할 수 있다.

10. 주어진 선분을 이등분할 수 있다.

11.직선 위에 주어진 점에서 그 직선의 수선을 그을 수 있다.

12. 직선 밖의 주어진 점에서그 직선의 수선을 그을 수 있다.

13. 한 선분의 끝점이 한 직선 위에 있을 때 만나서 생기는 두 각의 크기의 합은 2직각이다.

14. (13의 역)두 선분(a,b)이 한 점을 공유하고 또 다른 선분(c)과 만나서 생기는 각각의 각(ac, bc)의 합이 2직각이면 그 두 선분(a,b)은 한 직선을 이룬다.

15. 두 선분(직선)이 한 점에서 만나면 서로 마주보는 각의 크기는 똑같다.

16. 삼각형의 외각은 그 외각과 접하지 않은 나머지 두 내각의 크기보다 더 크다.

17. 삼각형의 임의의 두 각의 크기의 합은 2직각보다 더 작다.

18. 삼각형에서 가장 긴 변 맞은편에 있는 각이 가장 크다.

19. (18의 역) 삼각형에서 가장 큰 각 맞은편에 있는 변이 가장 길다.

20. 삼각형에서 임의의 두 변의 길의의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 길다.

21. 임의의 삼각형(A)이 존재할 때한 변과 삼각형 내부의 점으로 이루어진 또 다른 삼각형(B)을 작도하면그 삼각형(B)의 나머지 두 변의 길이의 합은 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 작지만 (B의)대각의 크기는 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 더 크다.

22. 어떠한 두 변의 길이의 합이 다른 한 변의 길이보다 더 크다는 조건을 만족하는 세 변이 주어질 때 삼각형을 작도할 수 있다.

23. 끝점이 있는 선분과 임의의 (직선)각이 주어질 때주어진 선분에 그 각과 크기가 같은 각을 작도할 수 있다.

24. 두 삼각형이 서로 대응하는 두 변의 길이가 같지만 각이 다른 경우에는 각이 더 큰 쪽이 그 각의 대변(對邊)의 길이도 더 길다.

25.두 삼각형이 서로 대응하는 나머지 두 변의 길이가 같으면 밑변의 길이가 긴 삼각형의 밑변의 대각이 밑변의 길이가 짧은 삼각형의 밑면의 대각보다 더 크다.

26. 두 삼각형의 두 각의 크기가 같고 그 사이에 대응되는 변의 길이가 같으면 두 삼각형은 합동이고, 나머지 한 각의 크기와 두 변의 길이도 동일하다.

27. 한 직선(X)이 다른2개의 직선(A, B)과 만날 때 생기는 각 중 서로 엇갈린 위치에있는 두 각(alternative angles)의 크기(예 : XA의 바깥쪽 왼쪽각과 XB의 바깥쪽 오른쪽 각)가 같으면 두 직선은 평행하다.

28. 한 직선(X)이다른 2개의 직선(A, B)과 만날 때어떤 각이다른 직선의 같은 방향에 있는 각의 크기가 같거나(예 : XA의 위 왼쪽 각과 XB의 위 왼쪽 각)2개 직선을 통과하는 한 직선을 기준으로 같은 쪽에 있는 내각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

29.(27, 28의 역)평행선이 한 직선과 만날 때 어떤 각의 크기는 한 직선과 만나 생기는 각 중 엇갈린 위치에 있는 각의 크기나 같은 위치에 있는 각의 크기와 동일하고, 같은 쪽에 있는 두 내각의 크기의 합은 2직각이 된다.

30. 한 직선이 평행선 중 하나와 평행하면 나머지 한 직선과도 평행하다.

31. 주어진 직선 위를 지나지 않는 한 점을 지나며 그 직선과 평행한 (유일한) 직선을 작도할 수 있다.

32. 삼각형의 외각의 크기는 그 외각과 변을 공유하지 않은 나머지 두 내각의 크기의 합과 같다.

33. 평행하고 길이가 같은 두 선분의 끝을 (나란히) 연결시킨 두 직선은 그 자체가 평행하다.

34. 평행사변형에서 엇갈려 있는 두 각의 크기는 동일하며, 대각선은 평행사변형을 이등분한다.

35. 밑변과 그 밑변의 평행선을 공유하는 두 평행사변형의 넓이는 같다.

36. 밑변의 길이가 같고 각각의 밑변이 서로 같은 평행선 안에 있는 두 평행사변형의 넓이는 같다.

37. 밑변을 공유하고 나머지 한 점이 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다.

38. 밑변의 길이가 같고 밑변과 나머지 한 점이 모두 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다.

39. 넓이가 같고 밑변을 공유하는 두 삼각형의 꼭지점을 이은 선분은 밑변과 평행하다.

40. 넓이가 같고 밑변의 길이가 같으며 두 밑변이 한 직선위에 있을 때 두 삼각형의 꼭지점을 이은 선분은 밑변을 포함하는 직선과 평행하다.

41. 평행사변형의 넓이는밑변을 공유하고 꼭지점이 밑변과 마주보는 변 위에 있는 삼각형의 넓이의 2배가 된다.

42. 주어진 각을 한 각으로 하며, 주어진 삼각형의 넓이와 똑같은 평행사변형을 작도할 수 있다.

43. 평행사변형에서 한 대각선 위를 지나는 점으로 평행사변형을 네 개의 평행사변형으로 나눌 때 중간 크기의 엇갈려 있는 두 평행사변형(complements about a diameter)의 크기는 동일하다.

44. 한 선분, 한 각, 한 삼각형이 주어질 때 주어진 선분을 한 변의 길이로 하고, 주어진 각을 내각의 크기로 하며 주어진 삼각형의 면적과 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다.

45. 주어진 다각형과 면적이 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다.

46. 한 선분이 주어졌을 때 그 선분을 변으로 하는 정사각형을 작도할 수 있다.

47. 직각삼각형에서 빗변의 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하다.(피타고라스의 정리)

48. 가장 긴 변의 정사각형의 넓이가 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하면 짧은 두 변 사이의 각은 직각이다.(47번의 역)

참조

• 빛의 편지 블로그 - 고전서적 탭에 원론 관련 포스팅을 참조할 것.
• D. E. Joyce 교수의 유클리드 원론