유클리드의 원론/3권

원론 3권은 주로 원과 관련된 기하학적인 내용이 많이 있다.

정의

1. 두 원의 반지름(radius) 또는 지름(diameter)이 같을 때 두 원은 같다(equal circles)고 말한다.
2. 어떤 직선이 원과 만나지만 그 원을 나누지(cut the circle) 않을 때 그 직선은 원에 접한다(to touch the circle)고 말한다.
3. 두 원이 서로 만나지만 서로를 나누지 않을 때 두 원은 서로 접한다고 말한다.
4. 원 안에 있는 두 직선(a, b)에 대해 원의 중심에서부터 각각의 선분에 내린 수선의 길이가 같을 때 두 선분은 등거리에 있다(equally distant)고 말한다.
5. 4번의 경우에서 원의 중심으로부터 뻗어나가는 수선의 길이가 한 쪽(a)가 더 클 때에는 그 선분(a)이 원에서부터 거리가 멀다(at a greater distance from the center)고 말한다.
6. 활꼴(a segment)은 원을 나누는 직선과 나뉜 원호의 한 부분으로 둘러싸인 도형을 말한다.
7. 활꼴의 각(an angle of the segment)은 그 활꼴의 직선부분과 원호부분이 만나 생기는 각이다. (참고로 직선각이 아니다)
8. 활꼴 안의 각(an angle in the segment)은 활꼴의 양 끝점(A, B)과 활꼴 안의 원호에서 한 점(C)과 만나는 두 직선(AC, BC)이 이루는 각이다.
9. 그리고 이 각을 포함하고 있는 선분이 원호를 나눌 때(cut off a circumference)이 각은 원호 위에 있다(stand upon that circumference).
10. 부채꼴(a sector of the circle)은 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 각의 두 선분과 원호로 둘러싸인 도형이다.
11. 두 활꼴이 닮았다는 것(Similar segments)은 활꼴의 각이나 활꼴 안의 각이 같다는 것을 의미한다.

정리

1. 임의의 원이 주어졌을 때 그 중심을 작도할 수 있다.
   • 따름정리: 어떤 현(a)이 다른 현(b)을 수직이등분하면 그 현(a) 위에 원의 중심이 있다.
2. 원의 둘레 위의 두 점을 이은 선분은 원 안에 포함되어 있다.
3. 원의 중심을 통과하는 현(a)이 다른 현(b)을 이등분하면 그 현(a)은 다른 현(b)과 수직으로 만난다. 마찬가지로 원의 중심을 통과하는 현(a)이 다른 현(b)과 수직으로 만나면 그 현(a)은 다른 현(b)을 이등분한다.
4. 서로 만나는 두 현이 모두 원의 중심을 지나지 않으면 두 현은 서로를 등분하지 않는다.
5. 두 원이 서로를 나누면(즉 두 점에서 만나면) 그 두 원은 중심이 다르다.
6. 두 원이 서로 접하면 그 두 원은 중심이 다르다.
7. 지름(XY) 위에 원의 중심이 아닌 한 점(A)을 잡는다. 그러면 그 점에서 원주 위의 점 하나를 잡을 때(B)그 점(A)과 가장 거리가 멀리 떨어져있는 점(즉 AB의 거리를 가장 크게 만드는 점)은 그 지름 위에서 원의 중심을 지나 있는 점이고(만약 AY 사이에 C가 있으면 Y가 A에서 가장 멀리 있는 점이 된다),가장 가까이 있는 점(AB의 거리를 가장 작게 만드는 점)은 지름 위에 있는 점 중위의 점이 아닌 나머지 점(즉 X가 된다)이다. 그리고 원주 위의 점 중 A와 가까운 점(X)와 더 먼 점이 A와 더 멀리 떨어져 있다.
8. 어떤 원(Π) 밖에 한 점(A)이 주어져 있다. 그 점에서 여러 가지 직선(l, m, n)을 그을 때 모두 그 원(Π)의 원주 위의 점과 만나며, 그 중 하나는 원의 중심(C)을 지난다. (그 직선을 l로 놓는다) 그 원의 원주 위에 있는 점 중 그 점(A)에서부터 가장 멀리 있는 점은 원의 중심을 지나는 직선 위에 있는 점 중 A와 멀리 있는 점(이 점을 E로 잡겠다)이다.한편 (A와) 가장 거리가 가까운 경우는 그 원의 중심을 지나는 선분(l) 위에 있는 점 중 A와 가까이 있는 점이다. (이 점은 F로 잡겠다) 또한 원주 위에 있는 점 중 그 점(A)과가장 가까운 점(F)과 거리가 멀리 있는 점이 A와 더 멀리 있다.
9. 만일 원 안에 있는 점(A)에 대해 원주 위의 세 개의 점(X, Y, Z)를 잡을 때 그 세 점과 원 안에 있는 점의 거리가 같으면 (AX=AY=AZ) 그 점(A)은 원의 중심이다.
10. 임의의 원은 자신과 다른 원의 원주를 세 조각 이상 낼 수 없다. (다시 말해 서로 다른 두 원은 세 점 이상에서 만나지 못하는 것을 의미한다)
11. 한 원이 다른 원의 안에 있고, 서로 접하면(즉 내접하면, touching internally), 두 원의 중심을 이은 선분을 연장하면 두 원의 접점을 지나게 된다.
12. 한 원이 다른 원의 바깥에 있고, 서로 접하면(즉, 외접하면, touching externally), 두 원의 중심을 이은 선분 위에 두 원의 접점이 있다.
13. 한 원이 다른 원과 접한다면 단 한 점에서만 접하게 된다. (이게 내접이든 외접이든 상관없다)
14. 어떤 원에 대해 서로 길이가 같은 두 현은 원의 중심과 거리가 같다. 마찬가지로 원의 중심으로부터 거리가 같은 두 현은 서로 길이가 같다.
15. 원의 임의의 현에 대해 그 원의 지름이 가장 긴 현이고, 원의 중심에서 거리가 가까운 현의 길이가 더 길다.
16. 원의 지름(XY)의 한 끝점(X)으로부터 지름에 수선(l)을 그으면 그 수선은 절대로 원의 다른 점과 만나지 않는다.또한 그 수선과 반지름 사이에 그 끝점(X)을 지나는 어떤 직선을 그어도 그 원과 반드시 그 점 이외의 점에서 만나게 된다. 다시 말해 반원의 각은 어떤 예각보다 더 크다.
    • 따름정리: 원의 지름 위의 한 점에서 그 지름과 수선을 그으면 그 선분은 원과 접하게 된다.
17. 원 바깥의 점에서 어떤 원과 접하는 선분을 그릴 수 있다.
18. 한 직선(l)이 어떤 원과 접하면(접점을 A로 놓겠다) 그 원의 중심과 접점 사이의 선분(AC)은 그 직선과 수직이다.
19. 한 직선(i)이 어떤 원과 접하면(접점을 A로 놓겠다) 그 접점(A)에 대한 수선을 그으면 그 수선 위에 원의 중심이 있다.
20. 임의의 활꼴(또는 원주의 부분)이 주어졌을 때 그 활꼴의 중심각의 크기는 그 활꼴과 마주한 원주의 각(정의 9번을 참조)의 2배이다. (즉, 원주각이 중심각의 1/2라는 정리다)
21. 임의의 활꼴이 주어졌을 때 활꼴 안의 각은 서로 같다.
22. 원 위의 사각형에 대해 마주보는 각의 합은 2직각이다.
23. 같은 선분 위에서 닮은꼴이지만 서로 다른 활꼴을 작도할 수 없다.
24. 두 활꼴이 닮은꼴일 때 현의 길이가 같으면 두 활꼴은 합동이다.
25. 활꼴이 주어졌을 때 그 활꼴을 포함하는 (완전한) 원을 작도할 수 있다.
26. 같은 크기의 원(Π, Ρ)에서 중심각이 같은 원주(Π 위의 a, Ρ 위의 b가 중심각이 같을 때)는 서로 길이가 같다.
27. 같은 크기의 원(Π, Ρ)에서 마주보는 원주각(Π 위의 a, Ρ 위의 b의 마주보는 원주각이 서로 같을 때)이 같은 원주는 서로 길이가 같다.
28. 같은 크기의 원에서 현의 길이가 같으면 그 현에 대응하는 원주의 길이도 같다. 또한 현의 길이가 길수록 (짧은 쪽의) 원주의 길이도 길어진다.
29. 같은 크기의 원에서 그 현에 대응하는 원주의 길이가 같으면 그 현의 길이도 같다.
30. 원주가 주어지면 그 원주를 이등분할 수 있다.
31. 반원의 안쪽 원주각은 직각이다. 반원보다 큰 활꼴의 안쪽 원주각은 직각보다 작고, 반대로 반원보다 직은 활꼴의 안쪽 원주각은 직각보다 크다.
32. 만일 직선(XY)이 원에 접하면 그 접점(A)과 한 점(B)에 대해 접선과 그 두 점이 만나 생기는 각(각 BAX)의 크기는 그 두 점이 생기는 현(AB)와 마주하는 원주 안의 각의 크기와 동일하다.
33. 선분과 각이 주어졌을 때 주어진 각을 그 선분의 마주하는 원주각으로 하는 활꼴을 그 선분에 작도할 수 있다.
34. 원과 각이 주어졌을 때 그 각을 마주하는 원주각으로 하는 원호를 나눌 수 있다.
35. 만약 원의 두 현이 서로 만날 때(AB, CD가 E에서 만날 때) 각각의 조각으로 구성된 직사각형의 넓이는 서로 같다. (즉, AE*EB=CE*ED)
36. 원의 바깥에 있는 점(A)에서(원의 접점 B) 접선을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는(AB²) 그 원의 할선(l)에서 각각 그 점의 안쪽 선분과 바깥쪽 선분(그 선분이 원과 만나는 점을 C, D로 놓으면 AC, AD를 지정한다)으로 구성된 직사각형의 넓이와 같다.
37. 만일 원의 바깥에 있는 점(A)에서 하나의 할선(l, 이 원과 직선이 만나는 점은 C, D)이 있고, 원호의 또 다른 점(B)과 만난다. 만일 두 할선의 외선과 내선으로 구성된 직사각형(AC*AD)의 넓이가 원의 바깥쪽에 있는 점과 또 다른 점 (AB)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같으면 원 위의 점(B)과 원 밖의 점(A)를 연결한 직선은 원과 접한다.

참고

• 빛의 편지 블로그 - 원론 3권 정리
• D.E. Joyce. 교수의 원론 3권