아이디얼

틀:학술

정의

환 R의 부분환 I에 대하여,^[1]

임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ri\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ir\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)이라 하고, [math]\displaystyle{ I \trianglelefteq R }[/math]로 표기한다.

만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.

예시

[math]\displaystyle{ 0 \trianglelefteq R }[/math], [math]\displaystyle{ R \trianglelefteq R }[/math]
- R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1_R을 포함하게 되기 때문이다.
f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ker} f \trianglelefteq R }[/math]
M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여 [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} ( N ) = \{ r \in R \vert rN = 0 \} }[/math]는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
- K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} ( V ) }[/math]의 생성자가 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
정수환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼은 [math]\displaystyle{ n \mathbb{Z} }[/math] 꼴밖에 없다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.

실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]은 행렬 연산 에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\} }[/math]

그러면 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 부분환이다. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z,w\in\mathbb{R} }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}x & y\\ z& w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0\\b&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xa+yb & 0 \\ za+wb & 0\end{bmatrix}\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 좌아이디얼이다. 그러나

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}\not\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 아이디얼이 아니다.

성질 및 연산

아이디얼의 성질은 아래와 같다.

I와 J가 환 R의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이면, [math]\displaystyle{ I \cap J }[/math]도 R의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이다(정의에 의해 자명하다).^[2]
I가 환 R의 좌아이디얼이라는 것과, 좌R가군 R의 좌R부분가군이라는 것은 동치이다(이것도 정의에 의해 자명하다). 오른쪽도 마찬가지이다.

아이디얼 사이에 다음과 같이 연산을 정의한다.

I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합 [math]\displaystyle{ S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\} }[/math]도 R의 아이디얼이다. 이때 K를 I와 J의 합이라고 부르고 I+J로 나타낸다.
I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합
[math]\displaystyle{ P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\} }[/math]

는 R의 아이디얼이다. 이때 P를 I와 J의 곱이라고 부르고 IJ로 나타낸다.^[3]

X⊆R이 생성하는 아이디얼

X⊆R일 때, X를 포함하는 R의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽)아이디얼을 X가 생성하는 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽)아이디얼 I의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J }[/math]를 증명하면 보일 수 있다(⊴는 본래 양쪽아이디얼만을 뜻하는 것이지만 좀 남용했다. 이해해 주기 바란다). 증명은 (좌, 우, 양쪽)아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽)아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 X를 이 아이디얼 I의 생성자(generator)라고 한다.

아래에서는 R은 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자.

한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이 생성하는 주아이디얼은 [math]\displaystyle{ (c) }[/math]로 표기한다. 이는 아래와 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.

[math]\displaystyle{ (c)=\{rc\vert r\in R\} }[/math]

유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한생성아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n\in R }[/math]이 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]는 아래와 같은 집합이 된다.

[math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\} }[/math]

여러 가지 아이디얼

같이 보기

참고문헌

Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336

각주

↑ 환이 꼭 1을 갖지 않아도 되고, 따라서 부분환도 꼭 1을 갖지 않아도 되는 경우를 전제한다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 아이디얼과 부분환은 별개의 개념이 된다. 자세한 내용은 환 참조.
↑ 이번에는 아이디얼의 아이디얼과 같은 이야기는 하지 않는 듯하다…….
↑ I,J가 아이디얼이 아니면, 집합
[math]\displaystyle{ P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\} }[/math]
는 일반적으로 R의 아이디얼이 아니다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Q} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ I=J=\mathbb{Z} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}\cdot 1 \cdot 2=\frac{2}{3}\not\in P' }[/math]이다.

[1] 환이 꼭 1을 갖지 않아도 되고, 따라서 부분환도 꼭 1을 갖지 않아도 되는 경우를 전제한다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 아이디얼과 부분환은 별개의 개념이 된다. 자세한 내용은 환 참조.

[2] 이번에는 아이디얼의 아이디얼과 같은 이야기는 하지 않는 듯하다…….

[3] I,J가 아이디얼이 아니면, 집합
[math]\displaystyle{ P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\} }[/math]
는 일반적으로 R의 아이디얼이 아니다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Q} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ I=J=\mathbb{Z} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}\cdot 1 \cdot 2=\frac{2}{3}\not\in P' }[/math]이다.

[1]

[2]

[3]