정의
환 R의 부분환을 I라고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ (ri\in I) \wedge (ir\in I) }[/math]
이면 I를 R의 아이디얼(ideal), 또는 양쪽아이디얼(two-sided ideal)이라고 한다. 한편, 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ ri\in I }[/math]
이면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 하며,
- [math]\displaystyle{ ir\in I }[/math]
이면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
즉, I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면 I는 R의 아이디얼이 된다. 그리고 만약 R이 가환환이라면, 좌우 조건 중 하나만 만족하더라도 연산의 교환법칙에 의해 아이디얼이 된다.
예시
실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]은 행렬 연산 위의 환이다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\} }[/math]
그러면 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 부분환이다. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z,w\in\mathbb{R} }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}x & y\\ z& w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0\\b&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xa+yb & 0 \\ za+wb & 0\end{bmatrix}\in I }[/math]
이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 좌아이디얼이다. 그러나
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}\not\in I }[/math]
이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 아이디얼이 아니다.
유한생성된 아이디얼
R이 항등원을 갖는 가환환이고 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이라고 하자. 그리고 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ I=\{rc\vert r\in R\} }[/math]
그러면 I는 R의 아이디얼이다. I를 c에 의해 생성된 주아이디얼(principal ideal)이라고 하며, [math]\displaystyle{ (c) }[/math]로 표기한다.
[math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n\in R }[/math]이라고 하자. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ I=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\} }[/math]
그러면 I는 R의 아이디얼이다. I를 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n }[/math]에 의해 생성된 아이디얼이라고 하며, [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]로 표기한다. 이런 아이디얼을 유한생성된 아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다.
성질
- I와 J가 환 R의 아이디얼이면, I∩J도 R의 아이디얼이다.
- I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합 [math]\displaystyle{ S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\} }[/math]도 R의 아이디얼이다. 이때 K를 I와 J의 합이라고 부르고 I+J로 나타낸다.
- I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합
- [math]\displaystyle{ P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\} }[/math]
- 는 R의 아이디얼이다. 이때 P를 I와 J의 곱이라고 부르고 IJ로 나타낸다.
여러 가지 아이디얼
같이 보기
참고문헌
- Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336