방정식

Find x. 찾았다! 문서 끝!

방정식(方程式, Equation)이란 간단히 말하자면 어떤 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 찾는 식으로, 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다. 미지수의 값에 따라 참/거짓 여부가 달라지기 때문에 방정식은 일반적으로 명제가 될 수 없으며, 방정식을 참으로 만드는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 부른다. 한 가지 예시를 들어보자. [math]\displaystyle{ x^3-3x+2=0 }[/math]라는 식은 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 1 또는 −2일 때는 참이지만, [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]일 때는 거짓이다. 따라서 이 식은 방정식이며, 해는 1 또는 −2다.

주의할 점은 항상 참이거나, 항상 거짓인 경우 역시 방정식이라는 것이다. 전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. 이런 경우에는 참/거짓이 분명하므로 명제가 된다. 항등식의 예는 항목을 참조하고, 불능의 예는 [math]\displaystyle{ x=x-1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0x=1 }[/math] 등이 있다.

수학적인 직관이 있는 사람이라면 방정식의 해가 항상 존재하는지 아닌지 의문을 가질 수 있다. 대수학의 기본 정리라 불리는 이는 18세기 수학의 뜨거운 감자였으며, 많은 수학자들이 증명을 시도하였지만 카를 프리드리히 가우스가 하나하나 오류를 밝혀가며 그 증명들을 깨부셨다. 그리고선 본인이 그 때 당시에는 완벽한 증명을 보여 대수학의 기본 정리를 푼 수학자라는 명예를 얻었지만 현대에 와서는 가우스의 증명에도 살짝 오류가 있다는 것이 밝혀졌다. 안습 이에 대한 더 자세한 설명은 해당 문서를 참조하자.

왜 중요한가?

방정식 따위를 도대체 왜 배우냐고 묻는 학생들이 많은데, 세상 거의 모든 것이 다 방정식이다. 당신이 용돈을 얼마만큼 받아서 사고싶은 물건을 얼마나 살 수 있는가 같은 것도 실은 간단한 방정식이다. 집에서 학교까지 가는 시간을 계산하는 것도 방정식이며, 지금 자고 새벽에 일어나 몇 시간 공부할 수 있는지 계산하는 것도 방정식이다. 이렇게 간단한 것들도 방정식인데 복잡한 것으로 가면 더욱 말할 것도 없다. 그러니 불평하지 말고 배우자.

방정식의 종류

일변수 방정식

일변수 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}x^{i} = 0 }[/math].

이 때, [math]\displaystyle{ a_i }[/math]가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 방정식을 n차 방정식이라고 한다.

일차 방정식

[math]\displaystyle{ ax+b=0 }[/math]형태의 방정식. 가장 간단한 방정식이며, 미지수를 [math]\displaystyle{ \square }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 바꿨을 뿐, 초등학교 때 부터 계속 배워온 것이다. 답은 a와 b의 값에 따라 세 가지로 나뉜다.

• [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{a} }[/math]가 유일한 답이다.
• [math]\displaystyle{ a=0, b=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x }[/math]의 값에 상관없이 항상 성립하므로 항등식이다.
• [math]\displaystyle{ a=0,b\neq0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x }[/math]의 값에 상관없이 항상 성립하지 않으므로 불능이다.

이차 방정식

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]형태의 방정식. 단 [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]이다. 중학교 때 처음 배우며, 인수분해와 함께 본격적으로 학생들을 괴롭히기 시작한다. 크게 두 가지 풀이법이 있다.

• 인수분해: [math]\displaystyle{ a\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=0 }[/math]의 형태로 인수분해를 할 수 있다면 [math]\displaystyle{ x=\alpha,\beta }[/math]가 답이다.
• 근의 공식: 인수분해가 잘 안 된다면 망설이지 말고 바로 근의 공식을 쓰도록 하자. [math]\displaystyle{ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math]가 답. 만약 [math]\displaystyle{ b }[/math]가 짝수라면 [math]\displaystyle{ b'=b/2 }[/math]로 바꾼 뒤 [math]\displaystyle{ x=\frac{-b'\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a} }[/math]을 쓸 수도 있다. 이 공식은 방정식을 완전제곱꼴로 바꾼 뒤 근호를 씌워 유도할 수 있다.

고차 방정식

여기서 부터는 인수분해가 필수. [math]\displaystyle{ ab=0 }[/math]이라면, [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]인 것에서 착안하여 일단 다항식을 인수분해한다. 편의상 최고차항의 계수를 1이라고 하면, [math]\displaystyle{ \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\cdots\left(x-\eta\right)=0 }[/math]로 인수분해가 될 것이고, 따라서 [math]\displaystyle{ x=\alpha,\beta,\cdots,\eta }[/math]가 답이 된다. 만약 인수분해가 안되면 포기한다. 참고로 삼차와 사차 방정식은 근의 공식이 있는데, 외울 생각 절대 하지 말자. 직접 보면 안다.

삼차 방정식의 근의 공식은 타르탈리아라는 수학자가 발견했는데, 그는 카르다노라는 다른 수학자한테 "절대 발표하지 말 것"이라는 조건으로 근의 공식을 알려줬다. 하지만 카르다노는 이 근의 공식을 당당하게, 그것도 마치 자기가 발견한 것 처럼 세상에 발표했고, 삼차 방정식의 근의 공식은 "카르다노의 공식"이라는 이름이 붙었다. 뒷통수를 맞은 타르탈리아는 카르다노를 죽을 때 까지 저주하게 된다. 사차 방정식 역시 근의 공식이 있는데, 카르다노의 제자 페라리가 발견하였다.

흥미롭게도, 5차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않는다. 증명은 닐스 헨리크 아벨이 했다. 그러나 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. 근 자체는 대수학의 기본 정리에 의해 (복소수 범위에서) 존재하며, 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 사칙연산과 근호만을 사용한 근의 표현식이 존재하지 않는다는 뜻이다. 이와는 별도로 갈루아는 5차 이상의 방정식의 해를 구할 수 있는 조건에 대한 논문을 발표했는데, 역시 사칙연산과 근호만을 사용해 해를 구하는 것을 뜻한다.

여담으로 타르탈리아, 카르다노, 페라리, 아벨, 갈루아 모두 비극적인 삶을 살다 죽었다. 타르탈리아는 자신의 업적을 뺐겼고, 카르다노는 책을 출판하는 것을 금지당한데다가 자기 아들이 아내를 죽인 뒤 사형을 당하였고, 카르다노는 나중에 자살한다. 페라리는 방탕한 삶을 살다가 자기 여동생한테 독살당했으며, 아벨은 가난한 삶을 살다가 아사하였다. 더욱 슬픈 사실은 아벨이 죽은 뒤 얼마 안 되어서 교수 임명장이 날라왔다. 마지막으로 갈루아는 여자를 가지고 결투하다가 죽는다. 방정식에 무슨 마라도 끼었나...

다변수 방정식

변수가 [math]\displaystyle{ x }[/math]하나가 아니라 [math]\displaystyle{ y,z }[/math]등 여러개가 있는 경우. 미지수의 개수 > 식의 개수일 경우 일반적으로 부정방정식이 되며, 미지수의 개수 = 식의 개수일 경우 보통 단 하나의 해, 마지막으로 미지수의 개수 < 식의 개수 일 경우 해가 하나 있거나 없다. 선형대수학의 지식이 필요하며, 더 자세한 것은 연립방정식 항목을 참조.

미분 방정식

방정식에 미분 계수가 들어가 있는 경우. 더 자세한 내용은 미분방정식 항목을 참조하자. 참고로 미분방정식이 중요한 이유는 많은 물리학 법칙들이 미분의 형태로 나타나기 때문이다. 대표적인 것으로 [math]\displaystyle{ F=m\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} }[/math]. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} }[/math]가 고정돼 있을 경우 고등학교 물리시간에 많이 본 식인 [math]\displaystyle{ F=ma }[/math]가 된다.

함수 방정식

위의 경우들은 모두 변수가 어떤 실수나 복소수 값들을 구했다. 함수방정식은 변수가 함수인 경우다. 예를 들어보자. [math]\displaystyle{ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) }[/math]라는 방정식은 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a^x }[/math]일 때 참이 된다. 코시의 함수 방정식도 대표적인 예이며, 중요한 예는 윗문단의 미분방정식이다.

기타

• 분수 방정식: 분모에 미지수가 포함되어 있는 방정식을 말한다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ \frac {1}{x}-\frac {1}{x-2}=0. }[/math]같은 것. 푸는 방법은 분모의 최소공배수를 양 변에 곱하여 다항 방정식으로 바꾼 뒤 풀면 된다. 그러면 분수 방정식은 다항 방정식과 차이점이 무엇인지 의문이 들 수 있는데, 바로 무연근의 존재. 무연근이란, 풀기 편한 형태로 바꾼 방정식(위에선, 최소공배수를 곱해 만든 다항방정식)에선 해가 되지만, 원래의 방정식에선 해가 되지 않는 값인데, 예시를 들어보자. [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)} }[/math]이라는 방정식을 풀기 위해 양 변에, [math]\displaystyle{ x\left(x+1\right) }[/math]을 곱하면, [math]\displaystyle{ x+1=1 }[/math]가 되어 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]이 된다. 하지만 원래의 방정식의 해는 되지 않는데, 분모를 0으로 만들기 때문이다.

무연근이 존재하는 이유는 다음과 같다. [math]\displaystyle{ a=b }[/math]라는 분수방정식을 풀기 위해 최소공배수 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 곱한다고 해보자. 그러면, [math]\displaystyle{ aL=bL }[/math]이라는 형태의 다항방정식이 되는데, 이때 [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]인 경우, [math]\displaystyle{ a=b }[/math]가 아니더라도 이 다항방정식은 참이 된다. 이런 경우 무연근이 생기는 것이다.

• 무리 방정식: 근호에 미지수가 포함되어 있는 방정식을 말한다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ \sqrt{x-2}+x=8 }[/math]. 무리 방정식을 어떻게 푸는 방법은 적당히 거듭제곱을 취해서 근호를 제거, 다항방정식 형태로 만든 뒤 푼다. 무리방정식의 경우도 분수방정식처럼 무연근이 존재할 수 있다. 그 이유는 다음과 같다. [math]\displaystyle{ a=b }[/math]를 풀기 위해 양변을 제곱했다 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ a^2=b^2 }[/math]인데, 이 경우 [math]\displaystyle{ a=-b }[/math]도 근이 된다. 하지만 원 방정식의 근은 되지 않으며, 이런 경우 무연근이 생긴다.

• 절대값이 들어간 방정식: [math]\displaystyle{ \left|x\right|=1 }[/math]같은 경우. 절대값을 풀 때 다른 쪽의 부호가 양수, 음수일 경우로 나눠서 풀면 된다.
• 삼각 방정식: 삼각함수안에 미지수가 있는 경우. 특별한 경우가 아니면 해가 주기성을 띈다.
• 지수/로그 방정식: 지수, 로그안에 미지수가 있는 경우. 지수 방정식의 경우 밑의 조건에 따라, 로그 방정식의 경우 로그의 조건에 따라 무연근이 생길 수 있으니 주의하자.

관련 항목

• 연립방정식
• 미분방정식
• 오차방정식
• 오일러 방정식
• 로지스틱 방정식