무한

無限, infinity

단어

제한이나 한계가 없음을 이르는 명사. 보통 단독으로 쓰이지는 않고 접두사 형식으로 많이 쓰인다.

• 예시

무한도전, 무한 데이터 요금제, 무한 질주, 무한 로딩, 무한 리필, 무한 고자 기타등등.

수학에서 정의되는 개념

집합론에서 정의되는 양으로서의 무한과 해석학에서 정의되는 상태로서의 무한 두 가지가 있다.

• 양으로서의 무한

게오르그 칸토어의 이거 쓰다가 사람 정신병원으로 보내버린 논변에 의해, 무엇인가의 갯수를 세는 것은 그 무엇인가를 전부 포함하는 집합의 원소에 '자연수의 집합'의 원소를 1:1 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이 논변에 따르면 무엇인가의 갯수란 그 '무엇인가'를 전부 담은 집합의 원소 중 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소와 하나씩 짝지어 1:1 대응을 이룬 원소의 갯수가 된다.

게오르그 칸토어는 수학적 귀납법을 통해 '자연수의 집합'과 '정수의 집합', '유리수의 집합', ...등은 모두가 서로에 대하여 1:1 대응을 이루고 , 또한 '실수의 집합'은 '자연수의 집합'과 모든 원소를 1:1 대응 시켰을 때, 실수의 집합 쪽에서 반드시 남는 원소가 존재함을 증명하였다. 여기서 그 집합에서 만들 수 있는 모든 부분집합을 원소로 하는 집합(멱집합이라고 불린다)은 원래의 집합과 1:1 대응시켰을 때 반드시 남는 원소가 생긴다는 것은 자명하다.

즉, 칸토어에 따르면 이 세상에는 서로 크기가 다른 무한대가 존재한다는 것이며, 이를 확장하여 크기가 서로 다른 무한대를 여러개 만들 수 있다는 사실을 깨달았다. 자세한 이야기는 초한기수 항목 참고.

문제는 '이 자연수의 집합과 실수의 집합 사이에 크기가 다른 무한이 존재할까'였다. 칸토어는 존재하지 않는다 생각하고 남은 일생을 이를 증명하기 위해 살았지만 결국 죽을 때 까진 증명할 순 없었다. 답은 허무하게도 존재한다고 해도 되고 존재하지 않는다고 해도 된다. 힐베르트 : 아니 공리적으로 엄밀해야 할 수학에서 이게 뭔 소리야!

• 상태로서의 무한

당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 ε을 상상하자. 그러면 자연수 범위만 돼도 ε에 대해서 그 수보다 더 큰 ζ라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 함수를 다루는 영역인 해석학이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 실수 범위를 가정한다.) ... 어? ζ는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 ε에 대해서 그보다 더 큰 수 ζ를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" ε은 바로 아까의 ζ가 되어버린 셈이다.

이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. 실제로 이걸 반복하는 위키러는 없겠지. 머리속으로만 생각하자. 이렇게 해서 나오는 ζ가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 n에 대해 ζ가 n보다 큰 상태를 무한대라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 무한소(0에 무한히 수렴하는 상태)와 음의 무한대(상상할 수 있는 가장 작은 ε을 상상하고 그 ε보다 더 작은 ζ...)도 정의한다. 다만 무한소와 음의 무한대는 최소 유리수 이상 일반적으로 실수 범위에사만 정의된다.