진술
수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
- [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.
증명
[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = R }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ R \lt 1 }[/math]이라고 가정하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{m \ge n} \sqrt[m]{a_m}-R\right| \lt \varepsilon }[/math]이다. 절댓값 기호를 풀면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \lt R+\varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ R\lt \gamma \lt 1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]를 하나 잡고 [math]\displaystyle{ \varepsilon = \gamma - R }[/math]으로 두자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \lt \gamma }[/math]이다. 상한의 정의에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} \lt \gamma }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ a_n \lt \gamma^n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ 0 \lt \gamma \lt 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \gamma^n }[/math]은 수렴하고 따라서 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math]은 수렴한다.
이제 [math]\displaystyle{ R \gt 1 }[/math]이라고 가정하자. [math]\displaystyle{ \varepsilon = R -1 }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \gt 1 }[/math]이다. 상한의 정의에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n \gt 1 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}1 }[/math]이 발산하므로, 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.
따름정리
수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.
예시
다음 급수는 근판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.
다음 급수는 근판정법으로 발산함을 증명할 수 있다.
다음 급수의 수렴성은 근판정법으로 판정되지 않는다.