極限. Limit
개요
사전적 의미는 궁극의 한계. 수학에서의 의미에 대입해보면, 어떤 함수나 수열이 궁극적으로 다가가는 값을 말한다고 생각할 수 있다. 극한은 미적분학과 해석학의 필수요소이지만, 존재 자체는 고대시대 부터 알려져 있었다.
역사
아르키메데스의 원의 넓이를 구하는 방법이나, 제논의 역설 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 미적분학의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 [math]\displaystyle{ \lim }[/math]와 [math]\displaystyle{ \int }[/math]를 아무 생각없이 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. 수학자들이 물리학자들을 까는 이유[1] 이후에 모든점에서 불연속인 디레클레 함수, 모든 점에서 연속이나 모든 점에서 미분이 불가능한 바이어슈트라우스 함수 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 볼차노에 의해 기초가 다져진 뒤, 코시와 바이어슈트라스에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법.
수열의 극한
수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}N }[/math] 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다.
함수의 극한
엡실론-델타의 천국. 물론 현대에는 다른 극한의 정의도 존재하지만 엡실론-델타 논법에 비하면 많이 어렵다. 수학적으로 제대로 배우기 위해서는 수열의 극한을 먼저 알아야 하는데, 이는 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 주는 정리가 있기 때문이다.
관련 항목
각주
- ↑ 참고로 극한과 적분을 교환하기 위해서는 uniform convergence가 필요하다.