함수의 극한

극한 문서에도 설명이 되어있지만, 극한이라는 개념은 고대 그리스 시절부터 존재해 왔다. 특히 함수의 극한은 뉴턴이 미적분학을 만들면서 본격적으로 발전하기 시작하였다. 그러나 당시에는 엄밀한 수학적 증명보다는 직관에 의존하였다. 이는 물리학에서는 크게 문제가 되진 않았을지 몰라도, 수학에서는 상당한 문제가 되었다. 이를 해결하기 위해선 극한의 수학적인 엄밀한 정의가 필요하게 되었고, 이는 볼차노, 코시, 바이어슈트라스에 의해 완성되었다.

정의

직관적인 정의

[math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 어떤 값 [math]\displaystyle{ c }[/math]에 한없이 가까워지면 함숫값 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]도 어떤 값 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 한없이 가까워진다고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ c }[/math]로 갈 때 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 수렴한다(converges to [math]\displaystyle{ L }[/math])고 하며,

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]

로 표기한다. 만약 수렴하지 않으면 발산한다(diverges)고 한다.

고등학교에서 가르치는 직관에 의존하는 정의이다. 앞서 말했듯이 이 정의는 엄밀하지 않다. 디레클레 함수 같은 경우에는 함숫값이 뭘로 다가가는지 어떻게 아는가?

엄밀한 정의

수열과 비슷하게 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법을 사용한다.

함수 [math]\displaystyle{ f : A (\subseteq \mathbb R)\to \mathbb R }[/math] 및 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 극한점(limit point) [math]\displaystyle{ c \in A' }[/math]에 대해,

임의의 실수 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 실수 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ c }[/math]로 갈 때 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 수렴한다고 한다.

몇 가지 확인해 둘 점이 있다.

• 먼저, [math]\displaystyle{ c }[/math]는 정의역 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 속할 필요는 없다. 그러나 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 극한점이어야 한다.
• [math]\displaystyle{ x }[/math]의 조건은 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이지 [math]\displaystyle{ \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이 절대 아니다. 극한은 어디까지나 [math]\displaystyle{ x \neq c }[/math]일 때의 정보를 가지고 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 가장 자연스러운 함숫값을 찾아내는 과정이기 때문이다. 만일 [math]\displaystyle{ \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]를 조건으로 하면, [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 함숫값이 [math]\displaystyle{ x \to c }[/math]에서의 극한값과 다를 때 문제가 생긴다. 즉, 연속함수에서만 극한값이 존재하게 된다. 그러한 극한의 정의는 쓸모가 매우 적을 것이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]인 경우를 반드시 제외해야 한다.
• 반대로 함숫값의 조건은 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이지 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이 아니다. 만일 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]를 조건으로 하면, [math]\displaystyle{ x=c }[/math] 주변에서 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 유한 번 이하로 assume하는 함수와 그렇지 않은 함수(예를 들어 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=L }[/math]인 상수함수)를 차별하게 된다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=ax }[/math] 꼴의 일차함수에서 [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}f\left(x\right)=0 }[/math]이지만, [math]\displaystyle{ a=0 }[/math]이면 극한값을 정할 수 없다는 것인데, 무언가 심각하게 잘못되었다고 생각할 수밖에 없다. [math]\displaystyle{ x=c }[/math] 주변에서 계속 [math]\displaystyle{ L }[/math]이면 극한값도 당연히 [math]\displaystyle{ L }[/math]이라고 할 수 있어야 할 것이다. 따라서 반드시 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이라고 하여야 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}x^2=4 }[/math]임을 보이자.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left\{\frac{\varepsilon }{5},1\right\} }[/math]로 두자. 이때 [math]\displaystyle{ |x-2|\lt \delta }[/math]이면 절댓값을 풀어 [math]\displaystyle{ 3 \lt x+2 \lt 5 }[/math]를 얻고, 따라서

[math]\displaystyle{ \begin{align} |x^2-4|&=|x+2||x-2|\\ &\lt 5\delta\\ &\le \varepsilon \end{align} }[/math]

이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

한쪽 극한

함수에 따라서는 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 왼쪽에서 다가오냐, 오른쪽에서 다가오냐에 따라 극한값이 다를 수도 있다. [math]\displaystyle{ x }[/math]가 왼쪽에서 다가올 때의 극한값을 좌극한, 오른쪽에서 다가올 때의 극한값을 우극한이라 부른며, 정의는 다음과 같다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c\lt x\lt c+\delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 우극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c-\delta\lt x\lt c }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 좌극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^-}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

극한값이 존재한다는 명제와 좌극한, 우극한이 존재하며, 그 값이 같다는 명제는 서로 동치이다. 엡실론-델타를 사용하면 각각 한 줄 짜리 증명이므로 생략한다.

무한

극한값이 무한대인 경우는 어떻게 정의할까? 마찬가지로 엡실론-델타를 쓰긴하나 살짝 변형된 형태를 사용한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

한쪽 극한에 대한 경우도 비슷하며, 이는 생략한다.

[math]\displaystyle{ x }[/math]가 무한대로 가는 경우의 극한값도 변형된 엡실론-델타 논법을 사용한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]이 존재한다고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\lt -M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]이 존재한다고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=L }[/math]로 정의한다.

마지막으로 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 무한대로 갈 때 극한값도 무한대로 가는 경우의 정의는 다음과 같다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\gt K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\lt -K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\gt K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\lt -K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

다변수 함수

다변수 함수에서도 일변수 함수와 비슷하게 엡실론-델타 논법으로 극한을 정의한다.

[math]\displaystyle{ f:A_{A\subset\mathbb{R}^n}\mapsto\mathbb{R}^m }[/math]로 정의하고, [math]\displaystyle{ \mathbf{{x_0}} }[/math]를 정의역 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 내부, 혹은 경계의 원소라 하자. 그럼 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left\|\mathbf{x}-\mathbf{{x_0}}\right\|\lt \delta,\,\forall\mathbf{x}\in A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|f\left(\mathbf{x}\right)-L\right\|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{{x_0}}}f\left(\mathbf{x}\right)=L }[/math]로 정의한다.

성질

유일성

"함수의 극한값이 두 개가 될 수 있을까?"라는 질문을 박살내주는 성질. 고등학교에서도 증명은 하지 않고 배우겠지만, 함수의 극한값은 유일하다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_2 }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]임을 증명하면 된다. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ x_0\in N^*_{\delta_1}\left(c\right)\cap N^*_{\delta_2}\left(c\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]를 고른다. 그럼, 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \left|L_1-L_2\right|=\left|L_1-f\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)-L_2\right|\leq\left|L_1-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_0\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]

이다. 이는 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 성립하므로, 이를 만족하기 위해서는 [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]이어야 한다.

기본 연산

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2 }[/math]라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)+g\left(x\right)=L_1+L_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)g\left(x\right)=L_1L_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}\frac{1}{g\left(x\right)}=\frac{1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0 }[/math]

각각의 증명은 다음과 같다. 수열의 극한과 대체로 비슷하다.

1. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-L_1-L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]이다.
2. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 수렴하므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 [math]\displaystyle{ N^*_{\delta_1}\left(c\right) }[/math]에서 유계이다. 즉, 적당한 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)\right|\lt M,\,\forall x\in N^*_{\delta_1}\left(c\right) }[/math]. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2M} }[/math]이다. 그리고 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_3\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_3 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1} }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2,\delta_3\right) }[/math]로 정의하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1L_2\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)+L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)\right|+\left|L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right| }[/math]
   [math]\displaystyle{ =\left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|L_1\right|\left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+\left|L_1\right|\cdot\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]이다.
3. [math]\displaystyle{ L_2\neq0 }[/math]이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\left|L_2\right|}{2} }[/math]이다. 이를 삼각부등식을 활용해 잘 전개해 주면, [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)\right|\gt \frac{\left|L_2\right|}{2} }[/math]를 얻는다. 이제 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|\frac{1}{g\left(x\right)}-\frac{1}{L_2}\right|=\frac{1}{\left|L_2g\left(x\right)\right|}\left|g\left(x\right)-L_2\right|\leq\frac{2}{\left|L_2\right|^2}\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon=\varepsilon }[/math]이다.

위 세 기본 연산을 사용하면 아래 세 따름정리를 증명할 수 있다. 증명은 생략한다.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}kf\left(x\right)=kL_1,\,k\in\mathbb{R} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=L_1-L_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L_1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0 }[/math]

크기 비교

어떤 두 함수에 대해 한 함수가 다른 함수보다 항상 크다고 하자. 그럼 직관적으로 극한값도 큰 쪽의 함수가 더 클 것이다. 좀 더 엄밀하게 나타내면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2 }[/math]이고, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\,\forall x\in N^*_{\delta}\left(c\right) }[/math]이면, [math]\displaystyle{ L_1\leq L_2 }[/math]이다.

귀류법을 사용한다. 즉, [math]\displaystyle{ L_1\gt L_2 }[/math]라 가정한다. 그럼 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L_1-L_2\gt 0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right) }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \hat{\delta} }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in N^*_{\hat{\delta}}\left(c\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-g\left(x\right)-\left(L_1-L_2\right)\right|\lt \varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right) }[/math]이다. 절댓값을 풀어주면, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)\lt f\left(x\right)-g\left(x\right)\lt \frac{3}{2}\left(L_1-L_2\right) }[/math]이다. 이 때, 좌변은 양수이므로, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)-g\left(x\right)\gt 0 }[/math]이고, 이는 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ L_1\leq L_2 }[/math]이다.

수열과 함수

함수의 극한을 배우기 전에는 보통 수열의 극한을 먼저 배운다. 여기에는 이유가 있는데, 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 줄 수 있기 때문. 자세한 명제는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]은 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 정의역에 존재하는 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]인 모든 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L }[/math]인 것과 동치이다.

증명은 다음과 같다.

먼저 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]이고, [math]\displaystyle{ f }[/math]의 정의역 내의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]이 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]라고 가정하자. 이제 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0\gt }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 또한, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x_n-c\right|\lt \delta }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_n\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L }[/math]이다.

역으로, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)\neq L }[/math]라 가정하자. 그럼 임의의 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\in N^*_{\delta}\left(c\right) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\geq\varepsilon }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]이 존재한다. 이제 각 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]을 [math]\displaystyle{ x_n\in N^*_{1/n}\left(c\right) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon }[/math]이 되게 뽑는다. 그럼 각 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt 1/n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon }[/math]이다. 명백히, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]인데 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq L }[/math]이다.

샌드위치 정리

세 함수 [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=\lim_{x\to c}h\left(x\right)=L }[/math]이고, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}g\left(x\right)=L }[/math]이라는 정리. 고등학교에서 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 }[/math]을 증명할 때 한 번 쯤은 다들 보았을 것이다. 샌드위치라는 이름은 마치 세 함수가 샌드위치처럼 끼어서 한 극한값을 유도하기 때문에 붙여진 이름. 영미권에서도 샌드위치 정리라 부른다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 마찬가지로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|h\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon,\,\left|h\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 각 부등식에서, [math]\displaystyle{ -\varepsilon\lt f\left(x\right)-L,\,h\left(x\right)-L\lt \varepsilon }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right) }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ -\varepsilon\lt f\left(x\right)-L\leq g\left(x\right)-L \leq h\left(x\right)-L\lt \varepsilon }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 의미한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}g\left(x\right)=L }[/math].