쌍곡 기하학

Hyperbolic Geometry

개요

기하학의 한 분류로, 타원 기하학과 함께 비유클리드 기하학 중에서는 제일 잘 알려진 기하학이다. 일반인들에게 쌍곡 기하학을 설명할 때 흔히 "오목한 면에서 정의되는 기하학"라고들 하는데, 그다지 정확한 설명은 아니다. 타원 기하학(Elliptic Geometry)가 타원체(Ellipsoid) 위에서 정의되는 기하학이듯이, 쌍곡 기하학(Hyperbolic Geometry)는 쌍곡면(Hyperboloid) 위에서 정의되는 기하학이다. 수식으로는 [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm1 }[/math]의 형태를 띈다.

타원 기하학이 유클리드 기하학의 지식만 있어도 이해할 수 있는 것과 달리, 쌍곡 기하학은 유클리드 기하학은 물론, 절대 기하학, 사영 기하학, 복소평면, 군, 선형대수학, 미적분학 등등의 지식이 필수다. 다행히도 심도있는 레벨로 알고 있을 필요는 없고, 주요 개념만 알고 있으면 된다.

모델

쌍곡 기하학은 절대 기하학에 속하기 때문에 절대 기하학과 동일한 모델을 기반으로 한다. 절대 기하학에서 평행선 공준을 취한 것이 유클리드 기하학이라면, 쌍곡 기하학은 평행선 공준을 부정한 기하학. 즉, 한 점을 지나고, 다른 직선에 평행한 직선이 2개 이상인 기하학. 일단 쌍곡 기하학에 들어가기 전에 가장 기본적인 사영 기하학을 알고 가자.

설명

사영 기하학

사영 기하학(Projective Geometry)이란, 간단히 설명하면 기하학적 물체를 다른 물체 위에 내려찍는 것을 연구하는 기하학이다. 고등학교 기하와 벡터에서 정사영이라는 것을 배웠다면 이해가 쉽게 될 것이다. 아니라면 사영(射影)이나 Projection의 단어를 잘 생각해보자. 일단 실사영선(Real Projective Line, [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math])에 대해 알아보자.

수학적으로, 서로 평행한 두 선은 만나지 않는다. 그러나 시각적으로, 두 선은 무한한 끝에서 만나는 것처럼 보인다. 이 문제를 해결하기 위해서 도입된 것이 무한대점(Point of Infinity)이며, 실사영선은 일반적인 실수직선에 무한대점을 더한 것이라 생각하면 된다. 집합 기호로 표현하면 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1=\mathbb{R}\cup\left\{\infty\right\} }[/math]. 실사영선을 기하학적으로 표현하는 방법엔 크게 2가지가 있는데, 하나는 그냥 직선, 다른 하나는 원. 여기서는 실사영선을 직선+무한대점으로 생각하기로 한다.

이제, 실사영선을 다른 실사영선 위로 사영시키는 변환을 생각해보자. 이해를 돕기 위해 일단 구체적인 예시를 하나 들겠다.

점 [math]\displaystyle{ P=\left(a,b\right) }[/math]를 [math]\displaystyle{ x }[/math]축을 거쳐 [math]\displaystyle{ y }[/math]축 위로 사영시킨다고 가정하자. 이 사영 함수를 [math]\displaystyle{ f }[/math]라 하고, 거치는 [math]\displaystyle{ x }[/math]축 위의 점을 [math]\displaystyle{ t }[/math]라 하면 도달하는 [math]\displaystyle{ y }[/math]축의 점은 [math]\displaystyle{ f\left(t\right) }[/math]이다. 직선의 기울기가 일정함을 이용하며 식을 세우면, [math]\displaystyle{ \frac{b}{a-t}=-\frac{f\left(t\right)}{t} }[/math]이고, 정리하면 [math]\displaystyle{ f\left(t\right)=\frac{bt}{t-a} }[/math]이다.

일단 위 예시가 실생활에서 뭘 뜻하는지 알고 가자. 일단 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]는 우리의 "눈"이다. 그리고 거쳐가는 선(예시에서는 [math]\displaystyle{ x }[/math]축)은 우리가 눈으로 "바라보는 것"이다. 마지막으로 도달하는 선(예시에서는 [math]\displaystyle{ y }[/math]축)은 우리가 바라보는 것이 "비춰지는 곳"이다. 그럼, 눈의 위치에 따라서 우리가 바라보는 물체가 비춰지는 형상이 다름을 쉽게 알 수 있다. 그 달라지는 형상을 표현한 것이 바로 저 함수인 것이다. 뜬금없이 미술 수업

증명은 하지 않겠지만, 위와 같은 사영 변환은 전부 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} }[/math]의 형태를 띄고 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math]의 원소이며, 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^1 }[/math]인 함수이다. 무한대점의 계산을 어떻게 하냐는 의문이 들 수 있는데, 함수의 극한이라고 생각하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ x=\infty }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{a}{c} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x=-\frac{d}{c} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\infty }[/math]이다. 이러한 변환을 선형 분수 변환(Linear Fractional Transformation, LFT)이라 부른다. 모든 LFT는 [math]\displaystyle{ x\mapsto x+l,\,x\mapsto kx\,(k\neq0),\,x\mapsto\frac{1}{x} }[/math]의 적절한 합성으로 이루어진다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 저 세 함수를 LFT의 생성함수라고 부른다. 정의역과 공역은 당연히 전부 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math]. 한편, 저 세 생성함수는 일대일 대응 함수임을 쉽게 보일 수 있다. 일대일 대응 함수의 합성함수도 일대일 대응이므로, 모든 LFT는 일대일 대응 함수라는 사실을 알 수 있다.

사영 변환이 LFT라고 했지만, 모든 LFT가 사영 변환일까? 이를 확인하기 위해서는 LFT의 생성함수가 사영 변환인지 체크하면 된다.

증명 [math]\displaystyle{ x\mapsto x+l }[/math]: 시점을 무한대점으로 한 상태에서, 평행한 두 선에 대한 사영이다. [math]\displaystyle{ x\mapsto kx }[/math]: 시점이 무한대점이 아닌 상태에서, 평행한 두 선에 대한 사영이다. [math]\displaystyle{ x\mapsto\frac{1}{x} }[/math]: 원점에서 [math]\displaystyle{ y=1 }[/math]을 지나 [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]에 사영시킨 것이다.

따라서, 사영 변환과 LFT는 동치이다. 사영 변환은 직관적으로 이해하기 힘들기 때문에, 앞으로는 LFT를 생각하자.

LFT가 등거리사상이 아님을 쉽게 알 수 있다. 하지만, LFT는 비조화비(Cross Ratio)라는 것을 보존한다. 한 직선 위의 서로 다른 네 점 [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r,\,s }[/math]의 비조화비는 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \left[p,q;r,s\right]=\frac{\left(r-p\right)/\left(s-p\right)}{\left(r-q\right)/\left(s-q\right)}=\frac{\left(r-p\right)\left(s-q\right)}{\left(r-q\right)\left(s-p\right)} }[/math]

LFT의 생성함수가 비조화비를 보존한다는 것을 보이면 모든 LFT가 비조화비를 보존한다는 것을 보일 수 있다. 증명은 [math]\displaystyle{ \left[f\left(p\right),f\left(q\right);f\left(r\right),f\left(s\right)\right]=\left[p,q;r,s\right] }[/math]임을 보이면 되는데, 쉬우므로 생략. 이제 비조화비와 LFT에 대한 간단한 성질을 알고 가자.

정리 1

서로 다른 세 점 [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r\in\mathbb{RP}^1 }[/math]에 대해, 임의의 [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{RP}^1 }[/math]은 [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r,\,x }[/math]의 비조화비로 결정된다.

증명 [math]\displaystyle{ \left[p,q;r,x\right]=\left[p,q;r,y\right] }[/math]이라 하자. 양변을 잘 정리하면 [math]\displaystyle{ x=y }[/math]가 나온다. 즉, 세 점과 비조화비가 주어지면, 다른 한 점은 하나로 결정된다.

정리 2

서로 다른 세 점 [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r\in\mathbb{RP}^1 }[/math]과 서로 다른 세 점 [math]\displaystyle{ p',\,q',\,r'\in\mathbb{RP}^1 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ p\mapsto p',\,q\mapsto q',\,r\mapsto r' }[/math]인 LFT가 존재한다.

증명 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ p=p' }[/math]가 되도록 두 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math]를 잡는다. 이제, 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{qq'} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{rr'} }[/math]의 교점이라 가정하자. 그럼, 찾고자 하는 LFT는 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 시점으로, [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r }[/math]를 지나는 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math]를 [math]\displaystyle{ p',\,q',\,r' }[/math]를 지나는 [math]\displaystyle{ \mathbb{RP}^1 }[/math]에 사영시킨 것이다. 참고로 이 정리는 대수적인 방법으로도 쉽게 보일 수 있다.

정리 3

만약 [math]\displaystyle{ f,\,g }[/math]가 [math]\displaystyle{ p,\,q,\,r\mapsto p',\,q',\,r' }[/math]인 LFT라면, [math]\displaystyle{ f=g }[/math]이다.

증명 우선, 정리 2에 의해 조건을 만족하는 LFT가 존재한다. 그런데, 정리 1에 의해 [math]\displaystyle{ f }[/math]와 [math]\displaystyle{ g }[/math]의 비조화비는 항상 같다. 즉, [math]\displaystyle{ f=g }[/math].

LFT와 비조화비는 아래에서 설명할 쌍곡 기하학의 가장 대표적인 모델, 힐베르트 평면에서 쓰이게 된다.

힐베르트 평면

힐베르트 평면이란 쌍곡 기하학의 모델 중에서 가장 많이 쓰이는 모델로서, 다비드 힐베르트의 이름을 땄다. 복소평면 중 위쪽 절반을 사용하며, 독특한 거리 함수를 가지고 있다. 정확한 정의는 다음과 같다.

1. 힐베르트 평면 [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^2=\left\{z|\Im\left(z\right)\gt 0\right\} }[/math]
2. 매개변수화 된 경로를 [math]\displaystyle{ \gamma\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right),\,a\leq t\leq b }[/math]라 하자. 그럼, 경로의 길이는
   [math]\displaystyle{ l\left(\gamma\right)=\int_a^b\frac{\left|\gamma'\left(t\right)\right|}{\Im\left(\gamma\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t }[/math]로 정의한다.
3. 두 점 사이의 측지선(Geodesic)은 두 점을 잇는 여러 경로 중에서 길이가 제일 짧은 것으로 정의한다.

우선 제일 간단한 경로의 길이를 구해보자.

예시 1

수평선의 길이 [math]\displaystyle{ x+i,\,0\leq x\leq1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{1}\mathrm{d}x=1 }[/math] [math]\displaystyle{ x+2i,\,0\leq x\leq1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x+3i,\,0\leq x\leq1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{3} }[/math] 뭔가 이상하다는 사실을 눈치챘는가? 분명히 우리 눈에는 길이가 같은 수평선인데, 힐베르트 평면에서는 길이가 다르다. 허수부가 커질수록(평면의 위쪽으로 갈 수록) 길이는 점점 짧아지게 되는 것이다. 세 선의 길이를 같게 만드려면 2, 3번 선의 (유클리드) 길이를 각각 2배, 3배로 늘려야 한다. 그럼 이게 실생활에서는 무엇을 의미할까? 바로 원근법이다. 종이에 자로 동일한 길이의 수평선을 몇 개 위로 쌓고, 종이를 책상 위에 눕혀놓고 멀리서 바라보자. 원근법에 의해서 위쪽에 그린 선은 분명히 동일한 길이인데도 불구하고 시각적으로 길이가 짧아보인다. 눈에 보이는 길이를 같게 만드려면 결국 위쪽에 그린 선을 길게 그려야한다. 힐베르트 평면의 길이 재는 방법은 원근법을 보정한 것이라 이해할 수 있다.

예시 2

두 점 사이의 거리 [math]\displaystyle{ P=\left(0,1\right),\,Q=\left(2,1\right) }[/math]이라 하자. 이 두 점을 잇는 첫 번째 경로를 수평선, 두 번째 경로를 ∧모양의 경로라 하자. 예시 1과 같은 방법으로 하면 길이가 2임을 알 수 있다. 우선 ∧모양의 경로를 매개변수화 하자. [math]\displaystyle{ \begin{cases}t+\left(1+t\right)i,&\text{ if }0\leq t\leq1\\t+\left(3-t\right)i,&\text{ if }1\leq t\leq2\end{cases} }[/math] 이제 경로의 길이를 구하자. [math]\displaystyle{ \begin{align}&\int_0^1\frac{\left|1+i\right|}{1+t}\mathrm{d}t+\int_1^2\frac{\left|1-t\right|}{3-t}\mathrm{d}t\\=&\int_0^1\frac{\sqrt2}{1+t}\mathrm{d}t+\int_1^2\frac{\sqrt2}{3-t}\mathrm{d}t\\=&\sqrt2\left[\ln\left|1+t\right|\right]_0^1+\sqrt2\left[-\ln\left|3-t\right|\right]_1^2\\&=2\sqrt2\ln2\approx1.96\lt 2\end{align} }[/math] 놀랍게도, 직선의 길이가 더 길다는 것을 알 수 있다. 직선의 정의가 두 점을 잇는 가장 짧은 경로라는 것을 생각하면, 우리가 아는 직선이 힐베르트 평면에서는 직선이 아닌 것이다. 그렇기 때문에 측지선이라는 용어를 쓰는 것이다.

예시 2를 읽었다면, 쌍곡 기하학에서의 직선(=측지선)이 무엇인지 의문이 갈 것이다. 수평선은 직선이 아니지만, 다행히 수직선은 직선이다. 생각해보면 당연한데, 힐베르트 평면에서는 수직 위로 갈 수록 길이가 짧아지고 수평 좌우는 길이를 줄이는데 아무런 도움이 되지 않는다. 그렇기 때문에 수직선은 가장 짧은 길이고, 이는 곧 수직선이 측지선이라는 사실을 의미한다. 수직선의 길이는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \gamma\left(t\right)=x+ti,\,a\leq t\leq b }[/math], [math]\displaystyle{ l\left(\gamma\right)=\int_a^b\frac{1}{t}\mathrm{d}t=\ln\frac{b}{a} }[/math]

그럼 수평 거리는 어떻게 재야 최소일까? 증명은 하지 않겠지만, 반원이 바로 찾고자 하는 선이다. 정리하면, 쌍곡 기하학에서의 측지선은 수직선과 반원이다. 앞으로 특별한 말이 없으면 "직선=측지선"이라 생각하자.