코시분포

정의

확률변수 X가 다음 확률밀도함수

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\pi s}\left(\frac{s^2}{s^2+(x-x_0)^2}\right) }[/math]

를 가지는 연속확률분포를 따르면 X는 코시분포(Cauchy distribution), 또는 로렌츠분포(Lorentz distribution)를 따른다고 한다. 이때 x₀은 위치모수(location parameter), s는 척도모수(scale parameter)다. x₀=0이고 s=1이면 표준코시분포(standard Cauchy distribution)라고 한다. 표준코시분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)} }[/math]

성질

평균과 분산

코시분포의 확률밀도함수는 [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math]에서 대칭이므로, 평균이 x₀이 될 것이라고 예상할 수 있다. 그러나 이상적분

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2}dx }[/math]

는 정의되지 않는다. 따라서 코시분포의 평균? 그런 거 없다. 마찬가지로 n번째 모멘트 [math]\displaystyle{ E[X^n] }[/math]도 정의되지 않는다. 분산 또한 정의되지 않는다.