F분포

F학점의 분포

정의

U, V가 독립이며, 자유도 m, n인 카이제곱분포를 따르는 확률변수라고 하자. 확률변수

[math]\displaystyle{ W=\frac{U/m}{V/n} }[/math]

을 자유도 m, n인 F분포(F distribution)이라고 하고 [math]\displaystyle{ F_{m,n} }[/math]으로 표기한다.

성질

• 확률변수 X에 대해 [math]\displaystyle{ X\sim F_{n,m} }[/math]이면, [math]\displaystyle{ X^{-1}\sim F_{m,n} }[/math]이다.
• 확률변수 X에 대해 [math]\displaystyle{ X\sim t_n }[/math]이면, [math]\displaystyle{ X^2\sim F_{1,n} }[/math]이다.

응용

[math]\displaystyle{ X_1,X_2,\cdots,X_n }[/math]이 평균 μ_X, 분산 σ²인 정규분포를 따르고 [math]\displaystyle{ Y_1,Y_2,\cdots,Y_m }[/math]이 평균 μ_Y, 분산 σ²인 정규분포를 따른다고 하자. 그러면 확률변수

[math]\displaystyle{ F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}=\frac{(n-1)S_X^2/(n-1)\sigma^2}{(m-1)S_Y^2/(m-1)\sigma^2} }[/math]

는 자유도 n-1, m-1인 F분포를 따른다. 따라서 이표본 등분산 검정에 F분포가 사용된다.

같이 보기

• 학생 t분포