지수분포

정의

확률변수 X가 다음 확률밀도함수

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&x\lt 0 \end{cases} }[/math]

를 가지는 연속확률분포를 따르면 X는 지수분포(exponential distribution)를 따른다고 한다.

성질

평균과 분산

지수분포의 평균과 분산은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ E[X]=\int_0^{\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Var}[X]=\frac{1}{\lambda^2} }[/math]

망각성질

확률변수 X가 지수분포를 따른다면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} P(X\gt t+s\vert X\gt s)&=\frac{P(X\gt t+s\text{ and }X\gt s)}{P(X\gt s)}\\ &=\frac{P(X\gt t+s)}{P(X\gt s)}\\ &=\frac{\lambda e^{-\lambda(t+s)}}{\lambda e^{-\lambda s}}\\ &=e^{-\lambda t} \end{align} }[/math]

이고 결과는 s의 값과 상관없다. 이 성질을 망각성질(Memoryless property)이라고 한다.

지수분포의 특성과 사용

지수분포는 하나의 결과값이 다른 결과값의 영향을 받지 않는 독립사건의 분포를 나타낸다. 이 때문에 개별 독립사건들을 가지고 시뮬레이션을 돌릴 때는 지수분포가 거의 필수적으로 사용된다고 봐도 무방할 정도로 널리 사용된다.