정규분포

정의

확률변수 X가 다음 확률밀도함수

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\quad(-\infty\lt x\lt \infty) }[/math]

을 가지는 연속확률분포를 따르면 X는 정규분포(Normal distribution) 또는 가우스 분포(Gaussian distribution)를 따른다고 한다.

μ=0이고 σ=1인 정규분포는 표준정규분포(standard normal distribution)이라고 한다.

성질

평균과 분산

정규분포의 평균과 분산은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx =\mu }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx =\sigma^2 }[/math]

그래프의 모양

이론상 완벽한 정규분포를 그리는 분포일 경우 확률밀도함수가 평균점을 기준으로 좌우가 대칭을 이룬다.

표준정규분포

정규분포 중 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포를 표준정규분포라고 한다.

정규분포의 변환

어떤 분포가 완벽한 형태의 정규분포는 아니더라도 기본적으로 정규분포의 모습과 비스무리한 분포를 가지고 있다면 일정한 평균과 분산을 가지는 정규분포로 변환할 수 있다. 대학수학능력시험의 표준점수가 이 방식을 통해서 산출되는 대표적인 경우. 모집단이 정규분포를 가지고 가정한다면 다음과 같은 식으로 값의 변환이 가능하다.

“

평균으로 놓고자 하는 값 + [ ( 원래 값 - 모집단의 평균값 ) / 모집단의 표준편차 ] × 새로 변환하고자 하는 표준편차

“

예시로 대학수학능력시험의 표준점수의 경우 평균값을 100점(탐구영역의 경우 50점), 표준편차를 20(탐구영역은 10)으로 하여 위의 공식에 원점수를 대입하여 얻어진다.