無限, infinity
집합론에서 정의되는 크기가 다른 무한과 해석학에서 정의되는 크기의 구별이 없는 무한 두 가지가 있다.
크기가 다른 무한[편집 | 원본 편집]
게오르그 칸토어의 이거 쓰다가 사람 정신병원으로 보내버린 논변에 의해, 무엇인가의 개수를 세는 것은 그 무엇인가를 전부 포함하는 집합의 원소에 '자연수의 집합'의 원소를 1:1 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이 논변에 따르면 무엇인가의 개수란 그 '무엇인가'를 전부 담은 집합의 원소 중 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소와 하나씩 짝지어 1:1 대응을 이룬 원소의 개수가 된다.
게오르그 칸토어는 수학적 귀납법을 통해 자연수의 집합과 정수의 집합, 유리수의 집합은 모두가 서로에 대하여 1:1 대응을 이루고[1], 또한 실수의 집합은 자연수의 집합과 모든 원소를 1:1 대응 시켰을 때, 실수의 집합 쪽에서 반드시 남는 원소가 존재함을 증명하였다. 여기서 그 집합에서 만들 수 있는 모든 부분집합을 원소로 하는 집합(멱집합이라고 불린다)[2]은 원래의 집합과 1:1 대응시켰을 때 반드시 남는 원소가 생긴다는 사실이 증명되었다.
즉, 칸토어에 따르면 이 세상에는 서로 크기가 다른 무한대가 존재한다는 것이며, 이를 확장하여 크기가 서로 다른 무한대를 헤아릴 수 없을 정도로 많이 만들 수 있다는 사실을 깨달았다. 자세한 이야기는 초한기수 참고.
문제는 '이 자연수의 집합과 실수의 집합 사이에 크기가 다른 무한이 존재할까'였다. 칸토어는 존재하지 않는다 생각하고 남은 일생을 이를 증명하기 위해 살았지만 결국 죽을 때 까진 증명할 순 없었다. 하지만 답은 허무하게도 존재한다고 해도 되고 존재하지 않는다고 해도 된다. 힐베르트: 아니 공리적으로 엄밀해야 할 수학에서 이게 뭔 소리야!
크기의 구별이 없는 무한[편집 | 원본 편집]
우리가 흔히 생각하는 무한이다.
당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 N을 상상하자. 그러면 자연수 범위에서만 생각해도 N보다 더 큰 ∞라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 함수를 다루는 영역인 해석학이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 실수 범위를 가정한다.) 그러면 임의의 N에 대해서 그보다 더 큰 수 ∞를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" N은 바로 아까의 ∞와 같아져 버린 것이다. 그 새로운 N에 대해서, 또다시 그 N보다 큰 수 ∞를 상상한다.
이제 이 과정을 계속 반복하자. 이렇게 해서 나오는 ∞가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 N보다 큰 ∞를 무한대(infinity)라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 음의 무한대(임의의 실수 N보다 작은 -∞)와 무한소(infinitesimal, 0보다는 크지만 어떤 양수보다도 작은 수)를 정의한다. 하지만 착각해서는 안 될 것이, 무한대와 무한소는 실수가 아니다. 가끔 고등학교 과정에서 극한을 다룰 때 무한대와 무한소 개념으로 가르치거나 배우고는 하는데, 실수 집합 위에서 정의하는 극한값에 대하여 무한대와 무한소 개념을 사용한다는 것은 아주 위험한 일이다.
수체계에 따라 다르지만, 무한대도 수가 될 수 있다 (초실수라고 부른다). 수학의 정석에는 무한대를 수가 아닌 상태로서 표현하는데, 이는 일반적인 수체계에서 성립하는 말이고, 초실수를 도입하면 상태가 아닌 수가 된다.