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[[고등학교]] [[수학]] [[미적분]] 파트에서 볼 수 있는 [[연속함수]]의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem<ref>직역하면 극값 정리</ref> 이라고 한다. | |||
고등학교 수학 미적분 파트에서 볼 수 있는 [[연속함수]]의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem<ref>직역하면 극값 정리</ref> 이라고 한다. | |||
== 비 수학과를 위한 설명 == | == 비 수학과를 위한 설명 == | ||
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수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 | 수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 [[유계]]나 컴팩트에 대한 이해가 필요하다. 한 단계씩 증명을 하도록 하자. | ||
=== 보조정리 1 === | === 보조정리 1 === | ||
{{ | {{인용문2|함수 <math>f</math>가 유계인 닫힌 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이면, <math>f</math>는 그 구간의 각 점에서 유계이다.}} | ||
증명 | {{숨기기|증명| | ||
<math>f</math>가 구간 내의 한 점 <math>x_0</math>에서 연속이라고 하자. 그럼 <math>\forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>에 대해 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|< 1</math>을 만족하게 하는 <math>\delta> 0</math>이 존재한다. 따라서 <math>\left|f\left(x\right)\right|< 1+\left|f\left(x_0\right)\right|</math>이고, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 연속이다. <math>x_0</math>가 좌끝 (<math>=a</math>), 혹은 우끝 (<math>=b</math>)일 때도 비슷한 방법으로 유계임을 보일 수 있다.}} | |||
<math>f</math>가 구간 내의 한 점 <math>x_0</math>에서 연속이라고 하자. 그럼 <math>\forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)</math>에 대해 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|< 1</math>을 만족하게 하는 <math>\delta> 0</math>이 존재한다. 따라서 <math>\left|f\left(x\right)\right|< 1+\left|f\left(x_0\right)\right|</math>이고, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 연속이다. <math>x_0</math>가 좌끝 ( | |||
=== 보조정리 2 === | === 보조정리 2 === | ||
{{ | {{인용문2|함수 <math>f</math>가 집합 <math>A</math>의 각 점에서 유계이고, <math>A</math>가 컴팩트하면 <math>f</math>는 <math>A</math>에서 유계이다.}} | ||
증명 | {{숨기기|증명| | ||
각 <math>x\in A</math>에 대해 <math>f</math>가 <math>A\cap I_x</math>에서 유계인 열린 구간 <math>I_x=\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right)</math>이 존재한다. 열린 구간 <math>I_x</math>의 집합 <math>\left\{I_x|x\in A\right\}</math>는 집합 <math>A</math>의 열린 덮개고, 하이네-보렐 정리에 의해 <math>A\subset\bigcap_{k=1}^{n}</math>를 만족하는 유한한 열린 구간 <math>I_{x1},I_{x2},\cdots,I_{xn}</math>이 존재한다. 또한 <math>k=1,2,\cdots,n</math>에 대해 <math>f</math>는 <math>A\cap I_k</math>에서 유계이므로 <math>\left|f\left(x\right)\right|\leq M_k,\forall x\in A\cap I_{xk}</math>을 만족하는 <math>M_k> 0</math>가 존재한다. <math>M=\max_{1\leq k\leq n}M_k</math>라 하면 <math>\left|f\left(x\right)\right|< M,\forall x\in A</math>이다.}} | |||
각 <math>x\in A</math>에 대해 <math>f</math>가 <math>A\cap I_x</math>에서 | |||
=== 본 증명 === | === 본 증명 === | ||
<math>f</math>가 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 <math>f</math>는 <math>\left[a,b\right]</math>에서 | <math>f</math>가 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 <math>f</math>는 <math>\left[a,b\right]</math>에서 유계이다. 실수의 성질에 의해 <math>M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right),\,m=\inf_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right)</math>가 실수로서 존재한다. 이제 <math>f</math>가 <math>M</math>을 가질 수 없다고 가정하자. 그럼 <math>f\left(x\right)< M,\forall x\in\left[a,b\right]</math>이다. <math>\left[a,b\right]</math>에서 <math>g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right]</math>로 정의하자. 그럼 <math>g\left(x\right)> 0</math>이고, 연속함수의 성질에 의해서 <math>g\left(x\right)</math>도 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이다.<ref>이 성질에 대한 증명은 고교생도 할 수 있으니 성실한 위키러는 해보도록 하자</ref> 보조정리 2에 의해 <math>g</math>도 <math>\left[a,b\right]</math>에서 유계이고, 따라서 <math>g\left(x\right)\leq k</math>를 만족하는 양수 <math>k</math>가 존재한다. 그럼 <math>k\geq g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right]</math>이고 정리하면 <math>f\left(x\right)\leq M-1/k,\forall x\in\left[a,b\right]</math>이다. 이는 상한의 정의에 위배되고 따라서 <math>f</math>는 <math>M</math> (=최댓값)을 가져야 한다. 최솟값의 존재에 대한 증명은 <math>-f</math>에 대해 같은 방법으로 증명할 수 있다. | ||
{{ | {{ㅊ|아니 이게 무슨 소리야}} | ||
내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다. | 내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다. | ||
== 다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값 == | == 다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값 == | ||
위 일변수 [[ | 위 일변수 [[함수]]에서의 최대·최소의 정리를 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다. | ||
{{ | {{인용문2|<math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>이 <math>A\subset\mathbb{R}^n</math>에서 연속이고, <math>A</math>가 컴팩트 하다고 하자. 그러면 [[함수]] <math>f</math>는 <math>A</math>에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.}} | ||
일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 [[구간]]이 | 일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 [[구간]]이 컴팩트로 바뀐 것 밖에 없다. 사실 닫힌 구간이 컴팩트의 한 예이다. 컴팩트는 "유계이며 닫혀 있다"와 동치이기 때문 (이를 [[하이네-보렐 정리]]라고 한다). 이 정리를 좀 더 일반화 시키면 컴팩트한 위상공간에 대한 버전이 있다. | ||
== | == 같이 보기 == | ||
* [[롤의 정리]] | * [[롤의 정리]] | ||
* [[ | * [[중간값 정리]] | ||
* [[ | * [[평균값 정리]] | ||
{{각주}} | |||
[[분류:해석학]] | [[분류:해석학]] | ||
[[분류:함수]] | |||
[[분류:수학 정리]] | |||
2021년 5월 11일 (화) 08:40 기준 최신판
고등학교 수학 미적분 파트에서 볼 수 있는 연속함수의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem[1] 이라고 한다.
비 수학과를 위한 설명[편집 | 원본 편집]
수학의 정석에서는 이렇게 설명 하고 있다.
“ 함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. “
여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 하나라도 빠지면 최댓값과 최솟값이 존재 하지 않을 수도 있다. 시험에서 실수로 빼먹으면 틀릴 수도 있다. 다만 이 정리 하나만으론 문제를 잘 안 낸다. 얼핏보면 당연해 보이는 이 정리는 교과서나 정석에서도 증명을 고교생 수준에선 할 수 없다며 하지 않고 넘어간다. 그 이유를 알고 싶다면 아래 문단을 읽어보도록 하자.
수학과를 위한 설명[편집 | 원본 편집]
수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계나 컴팩트에 대한 이해가 필요하다. 한 단계씩 증명을 하도록 하자.
보조정리 1[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 유계인 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간의 각 점에서 유계이다.
증명 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 내의 한 점 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \forall x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt 1 }[/math]을 만족하게 하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\lt 1+\left|f\left(x_0\right)\right| }[/math]이고, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]가 좌끝 ([math]\displaystyle{ =a }[/math]), 혹은 우끝 ([math]\displaystyle{ =b }[/math])일 때도 비슷한 방법으로 유계임을 보일 수 있다. |
보조정리 2[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 각 점에서 유계이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]가 컴팩트하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 유계이다.
증명 각 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ A\cap I_x }[/math]에서 유계인 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_x=\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right) }[/math]이 존재한다. 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_x }[/math]의 집합 [math]\displaystyle{ \left\{I_x|x\in A\right\} }[/math]는 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 열린 덮개고, 하이네-보렐 정리에 의해 [math]\displaystyle{ A\subset\bigcap_{k=1}^{n} }[/math]를 만족하는 유한한 열린 구간 [math]\displaystyle{ I_{x1},I_{x2},\cdots,I_{xn} }[/math]이 존재한다. 또한 [math]\displaystyle{ k=1,2,\cdots,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A\cap I_k }[/math]에서 유계이므로 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\leq M_k,\forall x\in A\cap I_{xk} }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M_k\gt 0 }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ M=\max_{1\leq k\leq n}M_k }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)\right|\lt M,\forall x\in A }[/math]이다. |
본 증명[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이므로, 보조정리 2에 의해 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 유계이다. 실수의 성질에 의해 [math]\displaystyle{ M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right),\,m=\inf_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right) }[/math]가 실수로서 존재한다. 이제 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ M }[/math]을 가질 수 없다고 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt M,\forall x\in\left[a,b\right] }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right] }[/math]로 정의하자. 그럼 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\gt 0 }[/math]이고, 연속함수의 성질에 의해서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]도 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이다.[2] 보조정리 2에 의해 [math]\displaystyle{ g }[/math]도 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 유계이고, 따라서 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\leq k }[/math]를 만족하는 양수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재한다. 그럼 [math]\displaystyle{ k\geq g\left(x\right)=1/\left[M-f\left(x\right)\right] }[/math]이고 정리하면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\leq M-1/k,\forall x\in\left[a,b\right] }[/math]이다. 이는 상한의 정의에 위배되고 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ M }[/math] (=최댓값)을 가져야 한다. 최솟값의 존재에 대한 증명은 [math]\displaystyle{ -f }[/math]에 대해 같은 방법으로 증명할 수 있다.
아니 이게 무슨 소리야
내용을 보면 알겠지만 절대 고교생이 할 수 있을만한 내용은 아니다.
다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값[편집 | 원본 편집]
위 일변수 함수에서의 최대·최소의 정리를 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다.
[math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}^n }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]가 컴팩트 하다고 하자. 그러면 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 구간이 컴팩트로 바뀐 것 밖에 없다. 사실 닫힌 구간이 컴팩트의 한 예이다. 컴팩트는 "유계이며 닫혀 있다"와 동치이기 때문 (이를 하이네-보렐 정리라고 한다). 이 정리를 좀 더 일반화 시키면 컴팩트한 위상공간에 대한 버전이 있다.