중심 (군론)

정의

군 G에 대해, 집합

[math]\displaystyle{ Z(G)=\{a\in G\vert \forall g [ag=ga]\} }[/math]

를 G의 중심(center)이라고 한다. 즉 교환법칙이 성립하는 원소들을 모아놓은 것이 중심이라고 볼 수 있다.

예시

• [math]\displaystyle{ n\ge 3 }[/math]일 때, 대칭군 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 중심은 자신이다.
• [math]\displaystyle{ n\ge 4 }[/math]일 때, 교대군 [math]\displaystyle{ A_n }[/math]의 중심은 자신이다.

성질

• [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 정규부분군이다.

G의 항등원을 e라 하면, [math]\displaystyle{ eg=ge }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ e\in Z(G) }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 공집합이 아니다. 한편 [math]\displaystyle{ x,y\in Z(G) }[/math]에 대해, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ xy\in Z(G) }[/math]이다. 그리고 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ xg=gx }[/math]

이고, 그러므로

[math]\displaystyle{ x^{-1}(xg)x^{-1} = x^{-1}(gx)x^{-1} }[/math]

이고 정리하면

[math]\displaystyle{ gx^{-1}=x^{-1}g }[/math]

이다. 따라서 부분군 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 부분군이다. [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]가 정규부분군이라는 것은 임의의 [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aZ(G)=Z(G)a }[/math]인 것으로 쉽게 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ Z(G)=G }[/math]일 필요충분조건은 G가 아벨군인 것이다.
• [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]의 중심화 군(centralizer)을 [math]\displaystyle{ C(a) }[/math]이라고 하면, [math]\displaystyle{ Z(G)=\bigcap_{a\in G} C(a) }[/math]이다.
• 몫군 [math]\displaystyle{ G/Z(G) }[/math]가 순환군이면, G는 아벨군이다.