(새 문서: {{학술}} {{토막글}} == 정의 == 군 ''G''에 대해, 집합 : <math>Z(G)=\{a\in G\vert \forall g [ag=ga]\}</math> 를 ''G''의 '''중심(cen...) |
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''G''의 [[항등원]]을 ''e''라 하면, <math>eg=ge</math>이므로 <math>e\in Z(G)</math>이고 따라서 <math>Z(G)</math>는 [[공집합]]이 아니다. 한편 <math>x,y\in Z(G)</math>에 대해, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)</math>이다. 따라서 <math>xy\in Z(G)</math>이다. 그리고 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>xg=gx</math>이고, 그러므로 <math>x^{-1}(xg)x^{-1} = x^{-1}(gx)x^{-1}</math>이고 정리하면 <math>gx^{-1}=x^{-1}g</math>이다. 따라서 [[부분군 판정법]]에 의해 <math>Z(G)</math>는 ''G''의 부분군이다. <math>Z(G)</math>가 정규부분군이라는 것은 임의의 <math>a\in G</math>에 대해 <math>aZ(G)=Z(G)a</math>인 것으로 쉽게 보일 수 있다. | ''G''의 [[항등원]]을 ''e''라 하면, <math>eg=ge</math>이므로 <math>e\in Z(G)</math>이고 따라서 <math>Z(G)</math>는 [[공집합]]이 아니다. 한편 <math>x,y\in Z(G)</math>에 대해, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 | ||
: <math>(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)</math> | |||
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이다. 따라서 [[부분군 판정법]]에 의해 <math>Z(G)</math>는 ''G''의 부분군이다. <math>Z(G)</math>가 정규부분군이라는 것은 임의의 <math>a\in G</math>에 대해 <math>aZ(G)=Z(G)a</math>인 것으로 쉽게 보일 수 있다. | |||
* <math>Z(G)=G</math>일 필요충분조건은 ''G''가 [[아벨군]]인 것이다. | * <math>Z(G)=G</math>일 필요충분조건은 ''G''가 [[아벨군]]인 것이다. | ||
* <math>a\in G</math>의 중심화 군(centralizer)을 <math>C(a)</math>이라고 하면, <math>Z(G)=\bigcap_{a\in G} C(a)</math>이다. | * <math>a\in G</math>의 중심화 군(centralizer)을 <math>C(a)</math>이라고 하면, <math>Z(G)=\bigcap_{a\in G} C(a)</math>이다. |
2015년 7월 24일 (금) 21:40 판
정의
- [math]\displaystyle{ Z(G)=\{a\in G\vert \forall g [ag=ga]\} }[/math]
를 G의 중심(center)이라고 한다. 즉 교환법칙이 성립하는 원소들을 모아놓은 것이 중심이라고 볼 수 있다.
예시
- [math]\displaystyle{ n\ge 3 }[/math]일 때, 대칭군 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]의 중심은 자신이다.
- [math]\displaystyle{ n\ge 4 }[/math]일 때, 교대군 [math]\displaystyle{ A_n }[/math]의 중심은 자신이다.
성질
- [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 정규부분군이다.
G의 항등원을 e라 하면, [math]\displaystyle{ eg=ge }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ e\in Z(G) }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 공집합이 아니다. 한편 [math]\displaystyle{ x,y\in Z(G) }[/math]에 대해, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy) }[/math]
이다. 따라서 [math]\displaystyle{ xy\in Z(G) }[/math]이다. 그리고 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ xg=gx }[/math]
이고, 그러므로
- [math]\displaystyle{ x^{-1}(xg)x^{-1} = x^{-1}(gx)x^{-1} }[/math]
이고 정리하면
- [math]\displaystyle{ gx^{-1}=x^{-1}g }[/math]
이다. 따라서 부분군 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 부분군이다. [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]가 정규부분군이라는 것은 임의의 [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aZ(G)=Z(G)a }[/math]인 것으로 쉽게 보일 수 있다.