무한

수학에서 정의되는 개념

집합론에서 정의되는 양으로서의 무한과 해석학에서 정의되는 상태로서의 무한 두 가지가 있다.

• 양으로서의 무한 : 게오르그 칸토어의 이거 쓰다가 사람 정신병원으로 보내버린 논변에 의해, 무엇인가의 갯수를 세는 것은 그 무엇인가를 전부 포함하는 집합의 원소에 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소를 1:1 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이 논변에 따르면 무엇인가의 갯수란 그 '무엇인가'를 전부 담은 집합의 원소 중 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소와 하나씩 짝지어 1:1 대응을 이룬 원소의 갯수가 된다. 게오르그 칸토어는 수학적 귀납법을 통해 '이 세상 모든 자연수의 집합'과 '이 세상 모든 정수의 집합', '이 세상 모든 유리수의 집합', ..., 등등은 모두가 서로에 대하여 1:1 대응을 이룸을 (즉 그 모든 집합들의 원소의 갯수가 동일함을) 증명하였다. 하지만 '이 세상 모든 실수의 집합'은 '이 세상 모든 자연수의 집합'과 모든 원소를 1:1 대응 시켰을 때 실수의 집합 쪽에서 반드시 남는 원소가 존재함을 증명하였다. 즉, 칸토어에 따르면 이 세상에는 여러 가지 크기의 서로 다른 무한대가 존재한다는 것이다. 자세한 이야기는 초한기수 항목이 생기면 거기서 하도록 하자.
• 상태로서의 무한 : 당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 epsilon을 상상하자. 그러면 자연수 범위만 돼도 그 모든 epsilon에 대해서 그 수보다 더 큰 zeta라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 논의의 편의성을 위해 보통은 실수 범위를 가정한다.) ... 어? zeta는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 epsilon에 대해서 그보다 더 큰 수 zeta를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" epsilon은 바로 아까의 zeta가 되어버린 셈이다. 자 이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. 이렇게 해서 나오는 zeta가 바로 무한대를 의미한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 무한소(0에 무한히 수렴하는 상태)와 음의 무한대(상상할 수 있는 가장 작은 epsilon을 상상하고 그 epsilon보다 더 작은 zeta...)도 정의한다.