무한

수학에서 정의되는 개념

집합론에서 정의되는 양으로서의 무한과 해석학에서 정의되는 상태로서의 무한 두 가지가 있다.

• 양으로서의 무한

게오르그 칸토어의 이거 쓰다가 사람 정신병원으로 보내버린 논변에 의해, 무엇인가의 갯수를 세는 것은 그 무엇인가를 전부 포함하는 집합의 원소에 '자연수의 집합'의 원소를 1:1 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이 논변에 따르면 무엇인가의 갯수란 그 '무엇인가'를 전부 담은 집합의 원소 중 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소와 하나씩 짝지어 1:1 대응을 이룬 원소의 갯수가 된다.

게오르그 칸토어는 수학적 귀납법을 통해 '자연수의 집합'과 '정수의 집합', '유리수의 집합', ...등은 모두가 서로에 대하여 1:1 대응을 이루고 , 또한 '실수의 집합'은 '[자연수]의 집합'과 모든 원소를 1:1 대응 시켰을 때, 실수의 집합 쪽에서 반드시 남는 원소가 존재함을 증명하였다. 즉, 칸토어에 따르면 이 세상에는 크기가 서로 다른 여러 무한대들이 존재한다는 것이다. 자세한 이야기는 초한기수 항목이 생기면 거기서 하도록 하자.

• 상태로서의 무한

당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 ε을 상상하자. 그러면 자연수 범위만 돼도 ε에 대해서 그 수보다 더 큰 ζ라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 함수를 다루는 영역인 해석학이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 실수 범위를 가정한다.) ... 어? ζ는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 ε에 대해서 그보다 더 큰 수 ζ를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" ε은 바로 아까의 ζ가 되어버린 셈이다.

자 이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. 이렇게 해서 나오는 ζ가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 n에 대해 ζ가 n보다 큰 상태를 무한대라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 무한소(0에 무한히 수렴하는 상태)와 음의 무한대(상상할 수 있는 가장 작은 ε을 상상하고 그 ε보다 더 작은 ζ...)도 정의한다.