Pectus Solentis (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
잔글편집 요약 없음 |
||
| 19번째 줄: | 19번째 줄: | ||
* 크기의 구별이 없는 무한 | * 크기의 구별이 없는 무한 | ||
당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 N을 상상하자. 그러면 [[자연수]] 범위에서만 생각해도 N보다 더 큰 ∞라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 [[함수]]를 다루는 영역인 [[해석학]]이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 [[실수]] 범위를 가정한다.) ... 어? ∞는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 N에 대해서 그보다 더 큰 수 ∞를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" N은 바로 아까의 ∞와 같아져 버린 것이다. 그 새로운 N에 대해서, 또다시 그 N보다 큰 수 ∞를 상상한다. | 당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 N을 상상하자. 그러면 [[자연수]] 범위에서만 생각해도 N보다 더 큰 ∞라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 [[함수 (수학)|함수]]를 다루는 영역인 [[해석학]]이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 [[실수]] 범위를 가정한다.) ... 어? ∞는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 N에 대해서 그보다 더 큰 수 ∞를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" N은 바로 아까의 ∞와 같아져 버린 것이다. 그 새로운 N에 대해서, 또다시 그 N보다 큰 수 ∞를 상상한다. | ||
이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. <s>실제로 이걸 반복하는 [[위키러]]는 없겠지. 머리 속으로만 생각하자.</s> 이렇게 해서 나오는 ∞가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 N보다 큰 ∞를 '''무한대'''(infinity)라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 '''음의 무한대'''(임의의 실수 N보다 작은 -∞)와 '''무한소'''(infinitesimal, 0보다는 크지만 어떤 양수보다도 작은 수)와 정의한다. 하지만 착각해서는 안 될 것이, '''무한대와 무한소는 실수가 아니다'''. 가끔 고등학교 과정에서 극한을 다룰 때 무한대와 무한소 개념으로 가르치거나 배우고는 하는데, [[실수]] 집합 위에서 정의하는 극한값에 대하여 무한대와 무한소 개념을 사용한다는 것은 아주 위험한 일이다. 또한 이렇게 정의한 무한은 '''수라고 할 수 있다'''. <ref>실수도 복소수도 아닌 수이다. 그렇다고 사원수 같은 건 더더욱 아니다.</ref> 홍모씨가 저술한 [[수학의 정석|어느 참고서]]에는 무한대를 상태로서 표현하는데, 이는 고등학교 교육과정에서 무한대 기호 ∞를 쓸 때(x→∞, lim f = ∞ 등)에만 타당하며 이 생각을 근거로 ∞가 수가 아니라고 주장하는 것은 영 좋지 않은 생각이다. 자세한 것은 [[초실수]] 참조. | 이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. <s>실제로 이걸 반복하는 [[위키러]]는 없겠지. 머리 속으로만 생각하자.</s> 이렇게 해서 나오는 ∞가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 N보다 큰 ∞를 '''무한대'''(infinity)라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 '''음의 무한대'''(임의의 실수 N보다 작은 -∞)와 '''무한소'''(infinitesimal, 0보다는 크지만 어떤 양수보다도 작은 수)와 정의한다. 하지만 착각해서는 안 될 것이, '''무한대와 무한소는 실수가 아니다'''. 가끔 고등학교 과정에서 극한을 다룰 때 무한대와 무한소 개념으로 가르치거나 배우고는 하는데, [[실수]] 집합 위에서 정의하는 극한값에 대하여 무한대와 무한소 개념을 사용한다는 것은 아주 위험한 일이다. 또한 이렇게 정의한 무한은 '''수라고 할 수 있다'''. <ref>실수도 복소수도 아닌 수이다. 그렇다고 사원수 같은 건 더더욱 아니다.</ref> 홍모씨가 저술한 [[수학의 정석|어느 참고서]]에는 무한대를 상태로서 표현하는데, 이는 고등학교 교육과정에서 무한대 기호 ∞를 쓸 때(x→∞, lim f = ∞ 등)에만 타당하며 이 생각을 근거로 ∞가 수가 아니라고 주장하는 것은 영 좋지 않은 생각이다. 자세한 것은 [[초실수]] 참조. | ||
2015년 10월 16일 (금) 05:14 판
無限, infinity
집합론에서 정의되는 크기가 다른 무한과 해석학에서 정의되는 크기의 구별이 없는 무한 두 가지가 있다.
- 크기가 다른 무한
게오르그 칸토어의 이거 쓰다가 사람 정신병원으로 보내버린 논변에 의해, 무엇인가의 개수를 세는 것은 그 무엇인가를 전부 포함하는 집합의 원소에 '자연수의 집합'의 원소를 1:1 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이 논변에 따르면 무엇인가의 개수란 그 '무엇인가'를 전부 담은 집합의 원소 중 '이 세상 모든 자연수들의 집합'의 원소와 하나씩 짝지어 1:1 대응을 이룬 원소의 개수가 된다.
게오르그 칸토어는 수학적 귀납법을 통해 '자연수의 집합'과 '정수의 집합', '유리수의 집합', ...등은 모두가 서로에 대하여 1:1 대응을 이루고 [1], 또한 '실수의 집합'은 '자연수의 집합'과 모든 원소를 1:1 대응 시켰을 때, 실수의 집합 쪽에서 반드시 남는 원소가 존재함을 증명하였다. 여기서 그 집합에서 만들 수 있는 모든 부분집합을 원소로 하는 집합(멱집합이라고 불린다)[2]은 원래의 집합과 1:1 대응시켰을 때 반드시 남는 원소가 생긴다는 것은 자명하다.
즉, 칸토어에 따르면 이 세상에는 서로 크기가 다른 무한대가 존재한다는 것이며, 이를 확장하여 크기가 서로 다른 무한대를 헤아릴 수 없을 정도로 많이 만들 수 있다는 사실을 깨달았다. 자세한 이야기는 초한기수 항목 참고.
문제는 '이 자연수의 집합과 실수의 집합 사이에 크기가 다른 무한이 존재할까'였다. 칸토어는 존재하지 않는다 생각하고 남은 일생을 이를 증명하기 위해 살았지만 결국 죽을 때 까진 증명할 순 없었다. 답은 허무하게도 존재한다고 해도 되고 존재하지 않는다고 해도 된다. 힐베르트: 아니 공리적으로 엄밀해야 할 수학에서 이게 뭔 소리야!
- 크기의 구별이 없는 무한
당신이 상상할 수 있는 이 세상에서 가장 큰 수 N을 상상하자. 그러면 자연수 범위에서만 생각해도 N보다 더 큰 ∞라는 새로운 수를 상상할 수 있다. (다만 이 정의가 나오는 곳이 함수를 다루는 영역인 해석학이기 때문에, 논의의 편의성을 위해 보통은 실수 범위를 가정한다.) ... 어? ∞는 "수" 아닌가? 그러면 임의의 N에 대해서 그보다 더 큰 수 ∞를 상상한 그 순간, 당신이 방금 상상했던 "상상할 수 있는 한 가장 큰 수" N은 바로 아까의 ∞와 같아져 버린 것이다. 그 새로운 N에 대해서, 또다시 그 N보다 큰 수 ∞를 상상한다.
이제 이 과정을 우주가 멸망할 때까지 무한정 반복한다. 실제로 이걸 반복하는 위키러는 없겠지. 머리 속으로만 생각하자. 이렇게 해서 나오는 ∞가 바로 무한대를 의미한다. 즉, 임의의 실수 N보다 큰 ∞를 무한대(infinity)라고 정의한다. 해석학에서는 비슷한 과정으로 음의 무한대(임의의 실수 N보다 작은 -∞)와 무한소(infinitesimal, 0보다는 크지만 어떤 양수보다도 작은 수)와 정의한다. 하지만 착각해서는 안 될 것이, 무한대와 무한소는 실수가 아니다. 가끔 고등학교 과정에서 극한을 다룰 때 무한대와 무한소 개념으로 가르치거나 배우고는 하는데, 실수 집합 위에서 정의하는 극한값에 대하여 무한대와 무한소 개념을 사용한다는 것은 아주 위험한 일이다. 또한 이렇게 정의한 무한은 수라고 할 수 있다. [3] 홍모씨가 저술한 어느 참고서에는 무한대를 상태로서 표현하는데, 이는 고등학교 교육과정에서 무한대 기호 ∞를 쓸 때(x→∞, lim f = ∞ 등)에만 타당하며 이 생각을 근거로 ∞가 수가 아니라고 주장하는 것은 영 좋지 않은 생각이다. 자세한 것은 초실수 참조.