극한

極限. Limit

개요

사전적 의미는 궁극의 한계. 수학에서의 의미에 대입해보면, 어떤 함수나 수열이 궁극적으로 다가가는 값을 말한다고 생각할 수 있다. 극한은 미적분학과 해석학의 필수요소이지만, 존재 자체는 고대시대 부터 알려져 있었다.

역사

아르키메데스의 원의 넓이를 구하는 방법이나, 제논의 역설 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 미적분학의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 [math]\displaystyle{ \lim }[/math]와 [math]\displaystyle{ \int }[/math]를 아무 생각없이 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. 수학자들이 물리학자들을 까는 이유 이후에 모든점에서 불연속인 디레클레 함수, 모든 점에서 연속이나 모든 점에서 미분이 불가능한 바이어슈트라우스 함수 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 볼차노에 의해 기초가 다져진 뒤, 코시와 바이어슈트라스에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법.

수열의 극한

이와 관련한 내용은 수열의 극한에서 볼 수 있습니다.

수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}N }[/math] 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다.

함수의 극한

이와 관련한 내용은 함수의 극한에서 볼 수 있습니다.

엡실론-델타의 천국. 물론 현대에는 다른 극한의 정의도 존재하지만 엡실론-델타 논법에 비하면 많이 어렵다. 수학적으로 제대로 배우기 위해서는 수열의 극한을 먼저 알아야 하는데, 이는 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 주는 정리가 있기 때문이다.

관련 항목

• 수열의 극한
• 함수의 극한
• 해석학