거듭제곱

거듭제곱(Exponentiation)은 하나의 수를 여러 번 곱하는 이항연산을 의미한다. 기호로는 [math]\displaystyle{ \displaystyle a^n }[/math]으로 표기하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다. 예를 들어

[math]\displaystyle{ \displaystyle 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\times 2=32 }[/math]

이다.

성질

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle a\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle b,c }[/math]가 실수라면,

• [math]\displaystyle{ \displaystyle {a}^{b+c}={a}^{b}\times{a}^{c} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle {a}^{b\times c}={\left ( {a}^{b} \right )}^{c} }[/math]

거듭제곱의 확장

정수 거듭제곱

지수가 0인 경우, [math]\displaystyle{ \displaystyle a\ne 0 }[/math]의 거듭제곱은

[math]\displaystyle{ \displaystyle a^0=1 }[/math]

으로 정의한다. 그리고 지수가 음수일 경우 거듭제곱은

[math]\displaystyle{ \displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n} }[/math]

으로 정의한다.

유리수 거듭제곱

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle a\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle m,n }[/math]이 실수라면, [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle {a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{{a}^{m}} }[/math]으로 정의한다.

실수 거듭제곱

어떤 실수[math]\displaystyle{ \displaystyle b }[/math]가 있다고 하자. 유리수의 집합([math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{Q} }[/math])은 실수의 집합([math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{R} }[/math])의 조밀 집합이다. 이 때문에, [math]\displaystyle{ \displaystyle b }[/math]로 수렴하는 유리수의 수열 [math]\displaystyle{ \displaystyle \{ b_i \} }[/math]가 존재한다. 그리고 유리수 제곱은 앞에 나온 대로 할 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \{ a^{b_i} \} }[/math]라는 수열을 얻을 수 있고, 이 값은 [math]\displaystyle{ \displaystyle a^b }[/math]로 수렴한다.

예로 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\sqrt{2}} }[/math]를 계산해 보자. [math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt{2} = 1.41421356... }[/math]이다. 유리수 수열 [math]\displaystyle{ \displaystyle \left \{ \frac{14}{10}, \frac{141}{100}, \frac{1414}{1000}, \frac{14142}{10000} ... \right \} }[/math]을 생각할 수 있다. 그러면

• [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\frac{14}{10}} = 2.6390158215... }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\frac{141}{100}} = 2.6573716282... }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\frac{1414}{1000}} = 2.6647496502... }[/math]
• ...

등등의 식으로 계속 어떤 수로 수렴할 것이다. 그 수를 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\sqrt{2}} }[/math]로 나타낸다.

일반화

행렬

행렬 A와 자연수 n에 대해 행렬의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle A^2=AA,\; A^3=A^2A,\; A^4=A^3A,\;\cdots,\;A^{n+1}=A^nA }[/math]

지수가 0일 경우

[math]\displaystyle{ \displaystyle A^0=I }[/math]

로, 지수가 음수일 경우

[math]\displaystyle{ \displaystyle A^{-n}=(A^{-1})^n }[/math]

로 정의한다.

같이 보기

• [math]\displaystyle{ \displaystyle 0^0 }[/math]