0^0

개요

[math]\displaystyle{ {0}^{0} }[/math]의 값은 일반적으로 정의되지 않은 값이지만, 가끔 1로 정의하기도 한다. 이때는 지수법칙이 성립하지 않는다. 만약 지수법칙이 성립한다고 하면 0으로 나누기를 허용하는 꼴이 되기 때문. 1로 정의하는 이유는 아래에서처럼 계산이 편하기도 하고, 해당 연산자(이경우는 곱셈)의 항등원으로 정하는편이 구조적으로 깔끔하기때문이다. 즉, [math]\displaystyle{ {a}\times{b} }[/math] 같은 곱셈의 경우는 [math]\displaystyle{ \overset{b}{\underset{i=1}{\Sigma}}~a }[/math] 로 정의하기때문에 [math]\displaystyle{ {a}\times{0} }[/math] 같이 [math]\displaystyle{ {a} }[/math] 를 한번도 더하지 않은 경우는 보통 덧셈의 항등원인 [math]\displaystyle{ {0} }[/math] 으로 정의하며, [math]\displaystyle{ {a}^{b} }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \overset{b}{\underset{i=1}{\Pi}}~a }[/math] 로 정의되기때문에 [math]\displaystyle{ {a}^{0} }[/math] 같이 [math]\displaystyle{ {a} }[/math] 를 한번도 곱하지 않은 경우는 보통 곱셈의 항등원인 [math]\displaystyle{ {1} }[/math] 로 정의한다. (Empty product)

1?

1로 두면 계산에 편하다. 이유인 즉, 다항식의 표현에서 상수항을 [math]\displaystyle{ x^0 }[/math]으로 표현하는데, 이는 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]일 때도 성립해야 하기 때문이다.

또 다른 정의로는 [math]\displaystyle{ x^x }[/math]의 0으로의 우극한을 생각하기도 한다.

[math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}{x}^{x} &= \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{x\ln x} \\ &= \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}\\ &= \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}\\ &= \lim_{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{-x}=1 \end{align} }[/math]