적분판정법

진술

함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math]가 연속이고 단조감소한다고 가정하자. 이때

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]

이 수렴할 필요충분조건은 특이적분

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty f(x)dx }[/math]

가 수렴하는 것이다.

증명

추가바람

예시

다음 급수는 적분판정법을 이용해 수렴함을 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\varepsilon}},\;(\varepsilon \gt 0) }[/math]

다음 급수는 적분판정법을 이용해 발산함을 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) }[/math]