틀:학술 틀:토막글 비교판정법(Comparison test)은 어떤 급수를 이미 수렴판정을 마친 다른 급수와 비교해 수렴 여부를 판정하는 방법이다.
진술
수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]는 수렴한다.
- [math]\displaystyle{ 0\le b_n \le a_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 발산하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]는 발산한다.
증명
[math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n= L }[/math]인 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m b_i \gt L }[/math]인 [math]\displaystyle{ m\in \mathbb{N} }[/math]이 존재한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m b_i = L+\alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math]가 존재한다. 한편 극한의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ 0\lt \varepsilon \lt \alpha }[/math]인 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n b_i - L \right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 식을 정리하면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i \lt L+\varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ n }[/math]을 임의로 [math]\displaystyle{ m }[/math]보다 크게 설정하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i= \sum_{i=1}^m b_i+\sum_{i=m+1}^n b_i\lt L+\varepsilon }[/math]
에서
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=m+1}^n b_i \lt \varepsilon - \alpha }[/math]
을 얻는다. [math]\displaystyle{ b_n \ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=m+1}^n b_i \ge 0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \varepsilon-\alpha \lt 0 }[/math]이므로 모순이 발생한다. 따라서 삼일률에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_i \le L }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_n \le \sum_{i=1}^n b_n \le L }[/math]이다. [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_n }[/math]은 단조증가한다. [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_n }[/math]은 단조증가하고 유계이므로, 단조수렴정리에 의해 수렴한다.
예시
다음 급수는 비교판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n 3^n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\arctan n}} }[/math]
다음 급수는 비교판정법으로 발산함을 증명할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} }[/math]
극한비교판정법
수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0, b_n \gt 0 }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n,\sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 모두 수렴하거나 모두 발산한다.