E (상수)

e

개요

자연상수란, 수학에서 원주율과 함께 자주 쓰이는 상수 중 하나이다. 영어로는 natural constant...는 아니고, Euler's number나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히 레온하르트 오일러를 말하고, Napier는 로그를 발명한 존 네이피어의 이름. 값은 약 2.71828이며, 고등학교에서 미적분을 배울 때 같이 배울 것이다.

처음 배울 때는 누구나 저 숫자가 어째서 자연상수인지에 대해 의문을 품을 것이다. 수치상으로는 굉장히 부자연스럽지만, 그건 어디까지나 수치상의 얘기고, 실제 수학에서는 굉장히 깔끔한 결과를 도출한다. 물론, 정의를 그렇게 한 것이기 때문에 깔끔한 경우도 있지만... 어째서 깔끔한지는 아래 정의와 성질 문단을 참조.

정의

고교과정에서는 하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} }[/math]
   • 가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. 저 값이 수렴하는지 어떻게 알아? 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 단조 수렴 정리가 쓰이기 때문. 증명은 단조 수렴 정리 항목 참조.
   • 두 극한값이 같다는 사실은 [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}=x }[/math]로 치환하면 유도가... 반만 된다. \(n\)이 무한대로 접근함에 따라 \(x\)는 오른쪽에서 0으로 접근하기 때문. \(x\)가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다.
2. 방정식 [math]\displaystyle{ \int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1 }[/math]의 해. 다르게 설명하면, 그래프 [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math] 아래의 면적을 1부터 \(x\)까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 \(x\)값을 \(e\)라 정의한 것이다.
   • 여기서 [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]의 부정적분을 자연로그로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 \(e\)인 로그를 자연로그로 정의하지만.
3. 그래프 [math]\displaystyle{ y=a^x }[/math]의 \(x=0\)에서의 접선을 구할 때, 접선의 기울기가 1이 되는 \(a\) 값.
4. [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} }[/math]. 테일러 급수를 사용한 정의이다. 물론, 저 급수가 수렴한다는 사실을 보여야 한다.

값

자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다.

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457 1382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627 9434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822 6480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493 3826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463 77211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821 54249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094 431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567 17361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805 825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146 314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510 3837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...

더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 여기로. 100만 자리까지 기록되어있다.

성질

일부 성질은 정의와 겹친다.

1. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1 }[/math]
3. 초월수
   • \(e\)의 발견은 원주율보다 한참 늦었지만, \(e\)가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 늦게 증명되었다.
4. 모든 양수 \(x\)에 대해, [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e\lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} }[/math]
   • 첫 번째 부등식은 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.
5. 모든 실수 \(x\)에 대해, [math]\displaystyle{ e^x\geq x+1 }[/math]
   • 미분을 이용하자.
6. [math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]
7. [math]\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x }[/math]
   • 오일러의 공식이라 부르는 그것. 여기에 [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math]를 넣으면 그 유명한 [math]\displaystyle{ e^{i\pi}+1=0 }[/math]이 나온다.
8. [math]\displaystyle{ \left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx} }[/math]
   • 드 므아부르 정리