테일러 급수

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 실함수 또는 복소함수이고 [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math]에서 무한 번 미분가능할 경우, 거듭제곱급수

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n }[/math]

를 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math]에서의 테일러 급수(Taylor series)라고 한다. [math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]일 경우, 매클로린 급수(Maclaurin series)라고도 부른다.

여러 함수의 테일러 급수

이 예들은 [math]\displaystyle{ x_0 = 0 }[/math]일 때를 다루므로 매클로린 급수의 예이기도 하다.

무한등비급수 [math]\displaystyle{ {1 \over 1-x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle {1 \over 1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots, |x|\lt 1 }[/math] 일 때 수렴한다.

지수함수 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + \cdots + {x^n \over n!} + \cdots, }[/math] 전구간에서 수렴한다.

증명

[math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] 의 도함수는 자기 자신, 즉 [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f^{(n)}(0) = 1 }[/math] 이 되므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(0) \over n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!}x^n }[/math] 이 성립한다.

활용

자연상수 e 구하기

이 식에서 [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle e={{1}\over {0!}}+{{1}\over{1!}}+{1\over{2!}}+{1\over{3!}}+{1\over{4!}}+... }[/math]

이를 계산하면 e의 값을 구할 수 있다. n = 4까지만 계산해 주어도 [math]\displaystyle{ \displaystyle {65 \over 24} = 2.708333\cdots }[/math]가 되어 참값 [math]\displaystyle{ 2.7182818284\cdots }[/math]와의 오차가 약 0.01밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다.

오일러의 공식 [math]\displaystyle{ e^{ix}= \cos x + i \sin x }[/math] 증명하기

식에 [math]\displaystyle{ x }[/math]대신 [math]\displaystyle{ ix }[/math]를 대입해 보자.([math]\displaystyle{ \displaystyle i = \sqrt {-1} }[/math])

[math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {(ix)^n \over n!} = 1 + ix + {(ix)^2 \over 2!} + {(ix)^3 \over 3!} + {(ix)^4 \over 4!} + \cdots + {(ix)^n \over n!} + \cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \cdots }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = 1 + ix - {x \over 2!} -i {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots = (1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n)!} + \cdots) + i(x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots) }[/math]

이를 후술할 [math]\displaystyle{ \sin x, \cos x }[/math]의 테일러 급수로 나타내면, [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n} \over (2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over (2n+1)!} = \cos x+ i\sin x }[/math] 임을 보일 수 있다.

이항급수 [math]\displaystyle{ (1+x)^\alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n}x^n = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1) \over 2!}x^2 + \cdots + {\alpha (\alpha - 1)\cdots (\alpha - n +1) \over n!}x^n + \cdots }[/math]

활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math]\displaystyle{ x \ll 1 }[/math] 일 때 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 항까지 취해 [math]\displaystyle{ (1+x)^\alpha \simeq 1 + \alpha x }[/math]로 근사하는 경우가 많은데, [math]\displaystyle{ x \ll 1 }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

삼각함수 [math]\displaystyle{ \sin x, \cos x }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over (2n+1)!} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots }[/math] [math]\displaystyle{ \displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n} \over (2n)!} = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n)!} + \cdots }[/math] 모두 전구간에서 수렴한다.

활용

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1 }[/math] 임을 증명해 보자.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n+1} \over (2n+1)!} + \cdots }[/math] 에서 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ \displaystyle {\sin x \over x} = 1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots + (-1)^n{x^{2n} \over (2n+1)!} + \cdots }[/math] 이 된다.

[math]\displaystyle{ x \to 0 }[/math] 일 때 이차항부터는 모두 0이 되어, [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1 }[/math] 임을 알 수 있다.

---

이러한 사실로부터 [math]\displaystyle{ |x| \ll 1 }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ \sin x \simeq x }[/math]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

쌍곡선함수 [math]\displaystyle{ \sinh x, \cosh x }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \cosh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots }[/math]

모두 전구간에서 수렴한다.

증명

쌍곡선함수 [math]\displaystyle{ \sinh x, \cosh x }[/math]는 모두 아래와 같이 지수함수[math]\displaystyle{ e^x }[/math]로 표현 가능하므로 지수함수[math]\displaystyle{ e^x }[/math]의 테일러 전개식을 이용해 쌍곡선함수의 테일러 전개를 유도할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left\{\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{4^2}{4!} + \cdots \right)-\left(1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \frac{(-x)^4}{4!} + \cdots \right) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle = \frac{1}{2}\left(2x + 2\cdot\frac{x^3}{3!} + 2\cdot\frac{x^5}{5!} + 2\cdot\frac{x^7}{7!} + 2\cdot\frac{x^9}{9!} + \cdots \right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left\{\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{4^2}{4!} + \cdots \right)+\left(1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \frac{(-x)^4}{4!} + \cdots \right) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle = \frac{1}{2}\left(2 + 2\cdot\frac{x^2}{2!} + 2\cdot\frac{x^4}{4!} + 2\cdot\frac{x^6}{6!} + 2\cdot\frac{x^8}{8!} + \cdots \right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} }[/math]

로그함수 [math]\displaystyle{ \ln(1+x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}x^n \over n} = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} - \cdots + (-1)^{n+1}{x^n \over n} + \cdots, |x|\lt 1 }[/math]일 때 수렴한다.

역탄젠트함수 [math]\displaystyle{ \tan^{-1} x }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1} \over 2n+1} = x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} - \cdots + (-1)^n {x^{2n+1} \over 2n+1} + \cdots, -1\lt x\le 1 }[/math] 일 때 수렴한다.

증명

역탄젠트함수 [math]\displaystyle{ \tan^{-1} x }[/math]는 다음 등식이 성립한다. 해당 등식의 증명에 대해서는 아래 문단 참고

[math]\displaystyle{ \displaystyle \tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan^{-1}x=\frac{1}{x^2+1} }[/math]

또한 무한등비급수의 성질 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \frac{a}{1-r} \quad (-1\lt r\lt 1) }[/math]에 의해 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{1}{t^2+1} }[/math]를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{1}{t^2+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + t^8 - \cdots \quad (-1\lt t\lt 1) }[/math]

양변을 t에 대하여 적분하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \int_{0}^{x}\left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + t^8 - \cdots\right)\mathrm{d}t = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \cdots }[/math]

따라서 역탄젠트함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} }[/math]

등식 [math]\displaystyle{ \displaystyle \tan^{-1} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t }[/math] 의 증명

치환적분을 이용하여 해당 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ t }[/math]를 [math]\displaystyle{ t=\tan\theta }[/math] 로 치환하면 [math]\displaystyle{ \mathrm{d}t=\sec^2\theta\mathrm{d}\theta }[/math]이므로 해당 정적분은 치환적분법에 의해 다음과 같이 된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \int_{0}^{x}\frac{1}{\tan^2\theta+1}\sec^2\theta\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{x} 1 \mathrm{d}\theta=\left[\theta \right]_0^x }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ \theta=\tan^{-1}t }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \left[\theta \right]_0^x=\left[\tan^{-1}t \right]_0^x=\tan^{-1}x-\tan^{-1}(0)=\tan^{-1}x }[/math]

따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t = \tan^{-1} x }[/math]이다.

오차함수 [math]\displaystyle{ \operatorname{erf}(x) }[/math]

오차함수(誤差函數, error function)의 정의는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt }[/math]

또한 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} }[/math]

증명

상술한 지수함수 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]의 테일러 전개에 [math]\displaystyle{ x }[/math]대신 [math]\displaystyle{ -t^2 }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{n!} = 1 - t^2 + \frac{t^4}{2!} - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^8}{4!} - \cdots }[/math]

위 식을 t에 대하여 적분하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt = \displaystyle\int_0^x \left(1 - t^2 + \frac{t^4}{2!} - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^8}{4!} - \cdots \right) \mathrm dt = x - \frac{1}{3}\cdot x^3 + \frac{1}{5}\cdot \frac{x^5}{2!} - \frac{1}{7}\cdot \frac{x^7}{3!} + \frac{1}{9}\cdot \frac{x^9}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} }[/math]

따라서 오차함수의 테일러 전개는 아래와 같이 된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} }[/math]

해석함수

{{참고|해석함수} } 모든 함수의 테일러 급수가 반드시 원본과 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 실수에서 정의된 함수

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right),& x \gt 0\\ 0,& x\le 0 \end{cases} }[/math]

는 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f^{(n)}(0)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 매클로린 급수는 영함수가 되어 원본과 일치하지 않음을 알 수 있다.