비율판정법: 두 판 사이의 차이

2016년 2월 2일 (화) 00:38 판

틀:학술 틀:토막글 비율판정법(ratio test)은 수열의 일반항의 비를 이용해 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다.

진술

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ne 0 }[/math]일 때,

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 절대수렴한다.
[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

증명

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=R }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ R\lt 1 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -R\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ R \lt \gamma \lt 1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]를 하나 설정하자. [math]\displaystyle{ \varepsilon = \gamma - R }[/math]이라 하면 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{n \ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-R\right|\lt \gamma - R }[/math]이고 절댓값 기호를 풀면 [math]\displaystyle{ \sup_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt \gamma }[/math]를 얻는다. 상한의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt \gamma }[/math]을 얻는다. 즉, [math]\displaystyle{ |a_{n+1}| \lt \gamma |a_n| }[/math]이다. 새로운 수열 [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]을

[math]\displaystyle{ b_n=\begin{cases} a_n,&\text{if }n\le N+1\\ \gamma^{n-N-1} a_{N+1},&\text{if } n\gt N+1 \end{cases} }[/math]

로 정의하면 임의의 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_n|\le |b_n| }[/math]이다. 이때

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{i=1}^n |b_i | &= \sum_{i=1}^N |b_i| + \sum_{i=N+1}^n |b_i|\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i| +\sum_{i=N+1}^n \gamma^{i-N-1} a_{N+1}\\ &=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1-\gamma^{n-N}}{1-\gamma}|a_{N+1}| \end{align} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ |\gamma| \lt 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|b_n|=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1}{1-\gamma}|a_{N+1}| }[/math]이다. 따라서 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| }[/math]은 수렴한다.

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\inf_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -r\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \varepsilon=r-1 }[/math]로 설정하면 [math]\displaystyle{ \inf_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]를 얻는다. 하한의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_{n+1}| \gt |a_n| }[/math]이고 곧 임의의 양의 정수 [math]\displaystyle{ k\gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |a_k| \gt |a_N| }[/math]를 얻는다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n| \ne 0 }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 }[/math]이므로 일반항 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

따름정리

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 절대수렴한다.
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

예시

다음 급수는 비율판정법을 이용해 수렴함을 증명할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\;(a\in \mathbb{R}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} }[/math]

다음 급수는 비율판정법을 이용해 발산함을 증명할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^n n!} }[/math]

다음 급수의 수렴성은 비율판정법으로 판정되지 않는다.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }[/math]

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 {{학술}}
 {{토막글}}
-'''비율판정법(ratio test)'''은 [[수열]]의 일반항의 비를 이용해 [[급수 (수학)|급수]]의 수렴성을 판정하는 방법이다.
+'''비율판정법(ratio test)'''은 [[수열]]의 일반항의 비를 이용해 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수열의 극한|수렴]] 여부를 판정하는 방법이다.
 == 진술 ==
 실수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>a_n \ne 0</math>일 때,
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 * <math>\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다.
 == 증명 ==
-<math>\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=R</math>이라 하자. <math>\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\sup_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -R\right|< \varepsilon</math>이다. <math>R < \gamma < 1</math>인 <math>\gamma</math>를 하나 설정하자. <math>\varepsilon = \gamma - R</math>이라 하면 적당한 <math>N</math>에 대해 <math>\left|\sup_{n \ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-R\right|<\gamma - R</math>이고 절댓값 기호를 풀면 <math>\sup_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma</math>를 얻는다. 상한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma </math>을 얻는다. 즉, <math>|a_{n+1}| < \gamma |a_n|</math>이다. 새로운 수열 <math>(b_n)</math>을
+<math>\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=R</math>이라 하자. <math>R<1</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\sup_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -R\right|< \varepsilon</math>이다. <math>R < \gamma < 1</math>인 <math>\gamma</math>를 하나 설정하자. <math>\varepsilon = \gamma - R</math>이라 하면 적당한 <math>N</math>에 대해 <math>\left|\sup_{n \ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-R\right|<\gamma - R</math>이고 절댓값 기호를 풀면 <math>\sup_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma</math>를 얻는다. 상한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \gamma </math>을 얻는다. 즉, <math>|a_{n+1}| < \gamma |a_n|</math>이다. 새로운 수열 <math>(b_n)</math>을
 : <math>b_n=\begin{cases}
 a_n,&\text{if }n\le N+1\\
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 이고 <math>|\gamma| < 1</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|=\sum_{i=1}^N |b_i|+ \frac{1}{1-\gamma}|a_{N+1}|</math>이다. 따라서 [[비교판정법]]에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|</math>은 수렴한다.
-발산하는 경우 [[추가바람]]
+<math>\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r</math>이라 하자. <math>r>1</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\inf_{m\ge n}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| -r\right|< \varepsilon</math>이다. <math>\varepsilon=r-1</math>로 설정하면 <math>\inf_{n\ge N+1}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math>를 얻는다. 하한의 정의에 의해, <math>n > N</math>인 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>|a_{n+1}| > |a_n|</math>이고 곧 임의의 양의 정수 <math>k> N</math>에 대해 <math>|a_k| > |a_N|</math>를 얻는다. 그러므로 <math>\lim_{n\to\infty}|a_n| \ne 0</math>이고 따라서 <math>\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0</math>이므로 [[일반항 판정법]]에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다.
 == 따름정리 ==
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 다음 급수는 비율판정법을 이용해 발산함을 증명할 수 있다.
 * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^n n!}</math>
+다음 급수의 수렴성은 비율판정법으로 판정되지 않는다.
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>
+* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}</math>
 {{수렴판정법}}
 [[분류:해석학]]
 [[분류:수학 정리]]