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[[수학]]에서, '''범주'''(category, {{ㅊ|줄여서 cat}})는 특별한 집합과 연산을 추상화한 [[대수적 구조]]를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'('''object''')과 '함수들'('''morphism''')<ref>모든 category가 집합을 object로 가지고 함수들을 morphism으로 가지는 것은 '''아니다'''. 이런 category를 '''concrete category'''라고 한다. 하단 참조.</ref>을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 [[함자]]('''functors''')와 그 함자들 사이의 [[자연 변환]]('''natural transformation''')이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다. | |||
[[수학]]에서, '''범주'''(category, {{ㅊ|줄여서 cat}})는 특별한 집합과 연산을 추상화한 [[대수적 구조]]를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'('''object''')과 '함수들'('''morphism''')을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 [[함자]]('''functors''')와 그 함자들 사이의 [[자연 변환]]('''natural transformation''')이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다. | |||
범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다.<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 18</ref> Mac Lane은 category theory의 아이디어를 [[homology]]의 공리화 과정에서 얻었다고 한다. | 범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다.<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 18</ref> Mac Lane은 category theory의 아이디어를 [[homology]]의 공리화 과정에서 얻었다고 한다. | ||
== 정의 == | == 정의 == | ||
'''범주'''(category)<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 10</ref>는 '''메타-범주'''(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 [[항등함수]](identity)와 [[함수의 합성]](composition)을 가진 ''' | '''범주'''(category)<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 10</ref>는 '''메타-범주'''(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 [[항등함수]](identity)와 [[함수의 합성]](composition)을 가진 '''유향 그래프'''(directed graph, 또는 '''diagram scheme''')이다. 즉, category <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다: | ||
* 모든 '''대상'''(object)들의 [[모임 (수학)|모임]](class) <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 c'''∈'''C로 썼다.</ref> | * 모든 '''대상'''(object)들의 [[모임 (수학)|모임]](class) <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 c'''∈'''C로 썼다.</ref> | ||
* 모든 '''화살표'''(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 f '''in''' C로 썼다.</ref> | * 모든 '''화살표'''(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 f '''in''' C로 썼다.</ref> | ||
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** 큰 범주 중에서, 모든 <math>a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대해 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>가 집합일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''국소적으로 작은 범주'''(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 '''homset'''이라고 한다. | ** 큰 범주 중에서, 모든 <math>a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대해 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>가 집합일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''국소적으로 작은 범주'''(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 '''homset'''이라고 한다. | ||
Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다. | Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다. | ||
== Dual == | |||
{{참고|쌍대 (범주론)}} | |||
범주 <math>\mathcal C</math>의 '''범주론적 쌍대'''(categorical dual) 또는 '''반대 범주'''(opposite category) <math>\mathcal C^\mathrm{op}</math>는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다. | |||
== 범주의 예 == | |||
{| class="wikitable" | |||
|+자주 쓰이는 국소적으로 작은 구체적 범주의 예 | |||
!범주 | |||
!설명 | |||
!대상 | |||
!사상 | |||
|- | |||
|'''Set''' | |||
|집합 범주 | |||
|[[집합]] | |||
|[[함수]] | |||
|- | |||
|'''Grp''' | |||
|군 범주 | |||
|[[군 (수학)|군]] | |||
|군 [[준동형]] | |||
|- | |||
|'''Mag''' | |||
|마그마 범주 | |||
|[[마그마 (대수)|마그마]] | |||
|마그마 준동형 | |||
|- | |||
|'''Ring''' | |||
|환 범주 | |||
|[[환 (수학)|환]] | |||
|환 준동형 | |||
|- | |||
|''R'''''-Mod''' (또는 '''Mod'''(''R''), '''Mod'''<sub>''R''</sub>) | |||
|''R''-모듈(가군)의 범주. 이때 ''R''∈ob('''Ring''')이다. | |||
|''R''-[[모듈 (수학)|모듈]] | |||
|모듈 준동형 | |||
|- | |||
|'''Top''' | |||
|위상공간 범주 | |||
|[[위상공간]] | |||
|[[연속함수#위상수학에서|연속함수]] | |||
|- | |||
|''k'''''-Vect''' (또는 '''Vect'''(''k''), '''Vect'''<sub>''k'')</sub>) | |||
|[[체 (수학)|''k'']]-벡터공간의 범주. ''k''-모듈의 범주의 부분범주이다. | |||
|''k''-[[벡터공간]] | |||
|''k''-[[선형사상]] | |||
|- | |||
|'''Man'''<sup>''n''</sup> | |||
|''n''-급 다양체의 범주 | |||
|''n''-급 [[다양체]] | |||
|''n''-급 함수 (''C''<sup>''n''</sup>) | |||
|- | |||
|'''Met''' | |||
|거리공간 범주 | |||
|[[거리공간]] | |||
|[[짧은 사상]] (약한 축소 사상) | |||
|- | |||
|'''Uni''' | |||
|균등공간 범주 | |||
|[[균등공간]] | |||
|[[균등연속]] 함수 | |||
|} | |||
함자 <math>F: \; \mathcal C \to \mathcal D</math>들을 하나의 대상으로 보는 범주인 [[함자 범주]](functor category) <math>\mathbf{Fct}(\mathcal C, \; \mathcal D) =[\mathcal C, \; \mathcal D]= \mathcal D ^ {\mathcal C}</math>도 있다. | |||
또한 '''Set'''으로의 [[반변 함자]] <math>\tilde F: \; \mathcal C \to \mathbf{Set}</math>(즉 (공변) 함자 <math>\tilde F: \; \mathcal C^{\mathrm {op}} \to\mathbf{Set}</math>)들을 모아 놓은 범주인 <math>\mathcal C^{\wedge} =[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathbf{Set}]</math>는 [[준층]](presheaf)들의 모임이 된다. <math>[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathcal D]</math>의 대상을 <math>\mathcal D</math>-valued 준층이라고 하기도 한다. | |||
== 구체적 범주와 추상적 범주 == | |||
== 범주의 곱과 극한 == | |||
{{주석}} | |||
[[분류:범주론| ]][[분류:대수학]] |
2022년 5월 25일 (수) 19:06 기준 최신판
수학에서, 범주(category, 줄여서 cat)는 특별한 집합과 연산을 추상화한 대수적 구조를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'(object)과 '함수들'(morphism)[1]을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 함자(functors)와 그 함자들 사이의 자연 변환(natural transformation)이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다.
범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다.[2] Mac Lane은 category theory의 아이디어를 homology의 공리화 과정에서 얻었다고 한다.
정의[편집 | 원본 편집]
범주(category)[3]는 메타-범주(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 항등함수(identity)와 함수의 합성(composition)을 가진 유향 그래프(directed graph, 또는 diagram scheme)이다. 즉, category [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 다음과 같은 데이터로 구성된다:
- 모든 대상(object)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math].[4]
- 모든 화살표(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b) }[/math].[5]
- 정의역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
- 공역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{cod}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
- 정의역이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공역이 [math]\displaystyle{ b }[/math]인 화살표를 [math]\displaystyle{ f: \; a \to b }[/math]로 표기하고, class [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) = \{ f \in \operatorname{hom}(\mathcal C): \; \operatorname{dom} f = a, \; \operatorname{cod} f = b \} }[/math]로 정의한다.
- 합성 가능한 짝(composable pair)들의 모임 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) = \{ (g, f): \; \operatorname{dom} g = \operatorname{cod} f\} }[/math]
- 합성 연산자 [math]\displaystyle{ \circ: \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
- 항등함수 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{id}_\bullet: \operatorname{ob}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
- 항등함수는 합성 연산에 대한 항등원으로 작용해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다.
작은 범주와 큰 범주[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]이 모두 집합일 때, [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 작은 범주(small category)라고 한다.
- 작은 범주가 아니면 큰 범주(large category)라고 한다.
- 큰 범주 중에서, 모든 [math]\displaystyle{ a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 국소적으로 작은 범주(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]를 homset이라고 한다.
Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다.
Dual[편집 | 원본 편집]
범주 [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]의 범주론적 쌍대(categorical dual) 또는 반대 범주(opposite category) [math]\displaystyle{ \mathcal C^\mathrm{op} }[/math]는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다.
범주의 예[편집 | 원본 편집]
범주 | 설명 | 대상 | 사상 |
---|---|---|---|
Set | 집합 범주 | 집합 | 함수 |
Grp | 군 범주 | 군 | 군 준동형 |
Mag | 마그마 범주 | 마그마 | 마그마 준동형 |
Ring | 환 범주 | 환 | 환 준동형 |
R-Mod (또는 Mod(R), ModR) | R-모듈(가군)의 범주. 이때 R∈ob(Ring)이다. | R-모듈 | 모듈 준동형 |
Top | 위상공간 범주 | 위상공간 | 연속함수 |
k-Vect (또는 Vect(k), Vectk)) | k-벡터공간의 범주. k-모듈의 범주의 부분범주이다. | k-벡터공간 | k-선형사상 |
Mann | n-급 다양체의 범주 | n-급 다양체 | n-급 함수 (Cn) |
Met | 거리공간 범주 | 거리공간 | 짧은 사상 (약한 축소 사상) |
Uni | 균등공간 범주 | 균등공간 | 균등연속 함수 |
함자 [math]\displaystyle{ F: \; \mathcal C \to \mathcal D }[/math]들을 하나의 대상으로 보는 범주인 함자 범주(functor category) [math]\displaystyle{ \mathbf{Fct}(\mathcal C, \; \mathcal D) =[\mathcal C, \; \mathcal D]= \mathcal D ^ {\mathcal C} }[/math]도 있다.
또한 Set으로의 반변 함자 [math]\displaystyle{ \tilde F: \; \mathcal C \to \mathbf{Set} }[/math](즉 (공변) 함자 [math]\displaystyle{ \tilde F: \; \mathcal C^{\mathrm {op}} \to\mathbf{Set} }[/math])들을 모아 놓은 범주인 [math]\displaystyle{ \mathcal C^{\wedge} =[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathbf{Set}] }[/math]는 준층(presheaf)들의 모임이 된다. [math]\displaystyle{ [\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathcal D] }[/math]의 대상을 [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math]-valued 준층이라고 하기도 한다.
구체적 범주와 추상적 범주[편집 | 원본 편집]
범주의 곱과 극한[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ 모든 category가 집합을 object로 가지고 함수들을 morphism으로 가지는 것은 아니다. 이런 category를 concrete category라고 한다. 하단 참조.
- ↑ S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 18
- ↑ S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 10
- ↑ Mac Lane은 간단히 c∈C로 썼다.
- ↑ Mac Lane은 간단히 f in C로 썼다.