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'''미분방정식'''(微分方程式, Differential Equation)은 [[변수]], [[함수]], [[도함수]]가 포함된 [[방정식]]을 말한다. '''미방'''으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다. | |||
'''미분방정식'''은 [[변수]], [[ | |||
== 용어와 개념 == | == 용어와 개념 == | ||
*상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다. | *상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다. | ||
*편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. | *편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다. | ||
*계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다. | *계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다. | ||
*차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다. | *차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다. | ||
*선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. | *선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. | ||
**제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다. | **제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다. | ||
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* <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다. | * <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다. | ||
* <math> \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다. | * <math> \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다. | ||
*<math> \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다. | *<math> \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다. | ||
*<math>{ {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다. | *<math>{ {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다. | ||
*<math> \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | *<math> \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | ||
*<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | *<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. | ||
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General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다. | General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다. | ||
* General Form: <math>F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. | * General Form: <math>F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. | ||
* Normal Form: <math>{d^{n}y over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)})</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. | * Normal Form: <math>{d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)})</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. | ||
* Standard Form: <math>y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_ | * Standard Form: <math>y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_n=0</math> 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. | ||
=== 특수해, 일반해, 특이해 === | === 특수해, 일반해, 특이해 === | ||
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*일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것. | *일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것. | ||
*특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다. | *특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다. | ||
이 셋과 별개의 개념으로 | 이 셋과 별개의 개념으로 자명한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다. | ||
==== 예 ==== | ==== 예 ==== | ||
<math> y' + 2y^{3 \over 2} = 0 </math> 라는 미분방정식에 대해,</ | <math> y' + 2y^{3 \over 2} = 0 </math> 라는 미분방정식에 대해,<br /> | ||
<math> y = {1 \over (x+c)^2} </math> 은 일반해이다. 그런데, <math> y = 0 </math>의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.</ | <math> y = {1 \over (x+c)^2} </math> 은 일반해이다. 그런데, <math> y = 0 </math>의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.<br /> | ||
즉, <math> y = 0 </math> 은 이 일반해에 대한 특이해이다. | 즉, <math> y = 0 </math> 은 이 일반해에 대한 특이해이다. | ||
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===== 해의 존재성과 유일성 ===== | ===== 해의 존재성과 유일성 ===== | ||
다음 초깃값 문제<br /> | 다음 초깃값 문제<br /> | ||
<math> a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} </math>에 대해,<br/> | <math> a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} </math>에 대해,<br /> | ||
<math> a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) </math>가 <math> x_0 </math>를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 <math> x </math>에 대해 <math> a_n(x) \ne 0 </math>이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다. | <math> a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) </math>가 <math> x_0 </math>를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 <math> x </math>에 대해 <math> a_n(x) \ne 0 </math>이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다. | ||
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===== 완전미분 여부 확인 ===== | ===== 완전미분 여부 확인 ===== | ||
이쯤 되면 | 이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, {{ㅊ|아니면 말고}} 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다. | ||
<math> M(x, y) </math> 와 <math> N(x, y) </math>가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,<br /> | <math> M(x, y) </math> 와 <math> N(x, y) </math>가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,<br /> | ||
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 </math> 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} </math> 이다. | <math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 </math> 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} </math> 이다. | ||
*필요조건 증명 | *필요조건 증명 | ||
<math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} </math> 가 어떤 함수<math> f </math>의 전미분이라고 가정하면,<br /> | <math> M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} </math> 가 어떤 함수<math> f </math>의 전미분이라고 가정하면,<br /> | ||
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<math> f(x, y) </math>의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 <math> {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) </math>를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,<br /> | <math> f(x, y) </math>의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 <math> {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) </math>를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,<br /> | ||
<math> {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} </math> 임을 알 수 있다. | <math> {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} </math> 임을 알 수 있다. | ||
*충분조건 증명 | *충분조건 증명 | ||
[[추가바람]] | [[추가바람]] | ||
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===== 적분인자 ===== | ===== 적분인자 ===== | ||
<math> M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 </math> 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 <math> \mu (x, y) </math>를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 <math> \mu (x, y) </math>를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.<br /> | <math> M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 </math> 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 <math> \mu (x, y) </math>를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 <math> \mu (x, y) </math>를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.<br /> | ||
즉, 함수 <math> \mu(x, y) </math>가 적분인자일 필요충분조건은 <math> {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} </math>이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면, <br/> | 즉, 함수 <math> \mu(x, y) </math>가 적분인자일 필요충분조건은 <math> {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} </math>이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면, <br /> | ||
: <math> N {\partial \mu \over \partial x} - M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} - {\partial N \over \partial x}) </math> | : <math> N {\partial \mu \over \partial x} - M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} - {\partial N \over \partial x}) </math> | ||
이다.<br /> | 이다.<br /> | ||
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<math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) </math> 이다.<br /> | <math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) </math> 이다.<br /> | ||
증명은 간단하다. | 증명은 간단하다. | ||
양변에 적분인수를 곱하면, <br/> | 양변에 적분인수를 곱하면, <br /> | ||
<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이고, 이것은 곧 <math>\left(y\mu\left(x\right)\right)'=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 <math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) </math> 이다. | <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이고, 이것은 곧 <math>\left(y\mu\left(x\right)\right)'=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)</math>이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 <math> y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) </math> 이다. | ||
==== 치환 ==== | |||
변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다. | |||
===== 첫번째 경우 ===== | |||
방정식 <math>M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 </math>가 <math>M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y), N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y)</math>를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를 | |||
<math>M(x,y)=x^\alpha M(1,u), N(x,y)=x^\alpha N(1,u)(u=y/x)</math> 또는 <math>M(x,y)=y^\alpha M(v,1), N(x,y)=y^\alpha N(v,1)(v=x/y)</math> 형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자. | |||
<math>y=ux</math> 이므로 <math>dy=udx+xdu</math> 꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면 | |||
<math>x^\alpha M(1,u)dx+x^\alpha N(1,u)(udx+xdy)=0</math> 이 된다. <math>x^\alpha</math>로 나누면 | |||
<math>M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0</math> 꼴이 되고, <math>(M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0</math> 로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면 | |||
<math>{dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0</math> 이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서 <math>y=ux</math> 임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로 <math>y=ux</math> 또는 <math>x=vy</math> 를 대입하여 풀면 된다. | |||
===== 두번째 경우 ===== | |||
<math>{dy \over dx}=f(Ax+By+C), B\neq(0)</math>를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게 <math>u=Ax+By+C</math> 로 치환하여 풀 수 있다. | |||
===== 베르누이 방정식 ===== | |||
<math>{dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^n</math> 꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)이라고 한다. <math>n=0</math> 또는 <math>n=1</math> 의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히 <math>n=1</math> 또는 <math>Q (x)=0</math>인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우 <math>u=y^{1-n}</math> 로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다. | |||
=== 2계 이상의 상미분 방정식 === | === 2계 이상의 상미분 방정식 === | ||
여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다. | 여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다. | ||
==== 제차 ==== | ==== 제차 ==== | ||
적당한 실수 <math>r</math>에 대해 <math>y=e^{rt}</math>라 가정한다. 이를 <math>ay''+by'+cy=0</math>에 넣고 간단히 정리하면 <math>ar^2+br+c=0</math>이다. 이 방정식의 근을 <math>r_1,\,r_2</math>라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다. | 적당한 실수 <math>r</math>에 대해 <math>y=e^{rt}</math>라 가정한다. 이를 <math>ay''+by'+cy=0</math>에 넣고 간단히 정리하면 <math>ar^2+br+c=0</math>이다. 이 방정식의 근을 <math>r_1,\,r_2</math>라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다. | ||
1. <math>r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R}</math>: | 1. <math>r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R}</math>: | ||
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{{인용문2|<math>\phi</math>가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 <math>\phi-\psi</math>는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 <math>\phi-\psi=y_h</math>이고, 따라서 <math>\phi=y_h+\psi</math>이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 <math>y_h+\psi</math>임을 나타낸다.}} | {{인용문2|<math>\phi</math>가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 <math>\phi-\psi</math>는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 <math>\phi-\psi=y_h</math>이고, 따라서 <math>\phi=y_h+\psi</math>이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 <math>y_h+\psi</math>임을 나타낸다.}} | ||
문제는 여기서 어떻게 <math>\psi</math>를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들. | 문제는 여기서 어떻게 <math>\psi</math>를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들. | ||
# Variaion of Parameters: 적당한 <math>u_1\left(t\right),\,u_2\left(t\right)</math>에 대해 <math>\psi=u_1y_1+u_2y_2</math>라 가정하자 (<math>y_1,y_2</math>는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면 <math>{u_1}'=-\frac{y_2g}{W\left[y_1,y_2\right]},\,{u_2}'=\frac{y_1g}{W\left[y_1,y_2\right]}</math>이다 (<math>g</math>는 비제차 항, <math>W</math>는 Wronskian). | |||
# Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 [[복소수]]를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다. | |||
# [[라플라스 변환]] | |||
일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자. | |||
==== 상수계수 상미분 방정식 ==== | ==== 상수계수 상미분 방정식 ==== | ||
198번째 줄: | 203번째 줄: | ||
=== 비선형 상미분방정식 === | === 비선형 상미분방정식 === | ||
{{빈 문단}} | |||
=== 연립 미분방정식 === | === 연립 미분방정식 === | ||
미분방정식 | 미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 [[행렬]]이 필수이며, 고유값과 같은 [[선형대수학]]적 지식도 필요하다. | ||
=== 편미분방정식(PDE) === | === 편미분방정식(PDE) === | ||
Partial Differential Equation | {{본문|편미분방정식}} | ||
독립변수가 여러 개인 | 편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다. | ||
[[ | === [[수치해석]]적 방법 === | ||
정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다. | |||
* [[룽게-쿠타 방법]] | |||
{{각주}} | |||
[[분류:미분방정식| ]] | [[분류:미분방정식| ]] | ||
2022년 3월 21일 (월) 02:07 기준 최신판
미분방정식(微分方程式, Differential Equation)은 변수, 함수, 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 미방으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다.
용어와 개념[편집 | 원본 편집]
- 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.
- 편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.
- 계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다.
- 차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.
- 선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다.
- 제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.
- 비선형(nonlinear): 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 비선형함수[1] 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ y'' +3xy +72 = 0 }[/math] 는 이계 일차미분방정식이다.
- [math]\displaystyle{ \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x }[/math] 은 이계 삼차미분방정식이다.
- [math]\displaystyle{ \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 }[/math] 은 선형 제차 미분방정식이다.
- [math]\displaystyle{ { {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 }[/math] 는 선형 비제차 미분방정식이다.
- [math]\displaystyle{ \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
- [math]\displaystyle{ xyy' + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
미분방정식의 형태와 해[편집 | 원본 편집]
미분방정식의 형태[편집 | 원본 편집]
General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다.
- General Form: [math]\displaystyle{ F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
- Normal Form: [math]\displaystyle{ {d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)}) }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
- Standard Form: [math]\displaystyle{ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_n=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
특수해, 일반해, 특이해[편집 | 원본 편집]
미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.
- 특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
- 일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
- 특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.
이 셋과 별개의 개념으로 자명한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.
예[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ y' + 2y^{3 \over 2} = 0 }[/math] 라는 미분방정식에 대해,
[math]\displaystyle{ y = {1 \over (x+c)^2} }[/math] 은 일반해이다. 그런데, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math]의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.
즉, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] 은 이 일반해에 대한 특이해이다.
초깃값 문제와 경곗값 문제[편집 | 원본 편집]
깃과 곗이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]계 상미분방정식의 일반해는 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.
초깃값 문제[편집 | 원본 편집]
미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.
해의 존재성과 유일성[편집 | 원본 편집]
다음 초깃값 문제
[math]\displaystyle{ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} }[/math]에 대해,
[math]\displaystyle{ a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n(x) \ne 0 }[/math]이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다.
경곗값 문제[편집 | 원본 편집]
미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.
2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로
[math]\displaystyle{ \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2 }[/math]
와 같이 주어진다.
예[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ y' -2xy = 3, y(0) = 1 }[/math] 은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1 }[/math]을 초기 조건이라고 부른다.
- [math]\displaystyle{ y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 }[/math] 은 초깃값 문제이다.
- [math]\displaystyle{ y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 는 경곗값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1, y(2) =4 }[/math]를 경계 조건이라고 부른다.
유명한 미분방정식[편집 | 원본 편집]
맬서스 인구 성장 모형[편집 | 원본 편집]
1798년 영국의 경제학자 맬서스에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]에서의 총 인구수를 [math]\displaystyle{ P(t) }[/math]라고 하면 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math]
여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt+c} }[/math] 이다.
스프링에 의한 단순 조화 운동[편집 | 원본 편집]
스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.
스프링이 평형점에서부터 [math]\displaystyle{ x }[/math]만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라
[math]\displaystyle{ F = -kx }[/math]이다. [math]\displaystyle{ F = ma = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ -kx = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이고, 이를 다시 쓰면
[math]\displaystyle{ m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} + kx = 0 }[/math] 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면
[math]\displaystyle{ x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} }[/math] 이 된다.
삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면
[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos(\omega t - \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 최대 진폭, [math]\displaystyle{ \psi }[/math]는 위상각이라 한다.
미분방정식의 해법[편집 | 원본 편집]
1계 상미분 방정식[편집 | 원본 편집]
변수분리형 미분방정식[편집 | 원본 편집]
1계 미분방정식의 형태가 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = {g(x) \over h(y)} }[/math] 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math]\displaystyle{ h(y)dy = g(x)dx }[/math]
양변을 적분해주면
[math]\displaystyle{ \int h(y)\, \mathrm{dy} = \int g(x)\, \mathrm{dx} + c }[/math] 가 된다.
예[편집 | 원본 편집]
앞서 소개한 인구 모형 [math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math] 를 풀어보자. 이 식을 적절히 정리해 주면,
[math]\displaystyle{ {1 \over P(t)} \mathrm{d}P(t) = r\mathrm{dt} }[/math] 가 된다. 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \ln|P(t)| = rt + c }[/math] 이고, 다시 정리해
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt + c} }[/math] 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)
여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 [math]\displaystyle{ P(0) = P_0 }[/math]를 적용해 보자.
[math]\displaystyle{ P(0) = e^c = P_0 }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ P(t) = P_0e^{rt} }[/math] 라는 특수해를 얻는다.
완전 미분방정식[편집 | 원본 편집]
이변수함수 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 전미분은
[math]\displaystyle{ \mathrm{d}f = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ \partial }[/math]는 편미분 기호로, 항목을 참조하라.
1계 미분방정식 [math]\displaystyle{ M(x, y) + N(x, y){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = 0 }[/math] 의 양변에 dx를 곱하면
[math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 이고,
이 미분방정식의 좌변이 위의 [math]\displaystyle{ \mathrm{d}f }[/math], 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 미분 형태가 완전하다(exact)고 하고, 이 미분방정식을 완전 미분방정식(exact differential equation)이라고 한다.
이 미분방정식을 풀어보자.
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이므로 양변을 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math] 이다. 여기서는 편미분에 무참히 갈려나갔던 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 함수가 적분상수가 된다.
이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ {\partial f \over \partial y} = N(x, y) }[/math]도 만족하므로, [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 편미분해주면,
[math]\displaystyle{ N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h'(y) }[/math] 이 성립할 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]는 다음 조건을 만족하는 함수이다.
[math]\displaystyle{ h'(y) = N(x, y) - {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx }[/math]
이를 [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 잘 적분해 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]를 구하고,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math]에 다시 대입해 주면 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]를 구할 수 있다.
완전미분 여부 확인[편집 | 원본 편집]
이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, 아니면 말고 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.
[math]\displaystyle{ M(x, y) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ N(x, y) }[/math]가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,
[math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 }[/math] 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} }[/math] 이다.
- 필요조건 증명
[math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} }[/math] 가 어떤 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]의 전미분이라고 가정하면,
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x}, N(x, y) = {\partial f \over \partial y} }[/math]를 만족한다.
[math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 [math]\displaystyle{ {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) }[/math]를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,
[math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} }[/math] 임을 알 수 있다.
- 충분조건 증명
적분인자[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.
즉, 함수 [math]\displaystyle{ \mu(x, y) }[/math]가 적분인자일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} }[/math]이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면,
- [math]\displaystyle{ N {\partial \mu \over \partial x} - M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} - {\partial N \over \partial x}) }[/math]
이다.
이를 만족하는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 찾으면 되는데, 저게 편미분방정식(...)인게 문제다. 원래 미분방정식보다 풀기 어렵다는 뜻이다. 하지만 다행히도, 특수한 경우에는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 구할 수가 있다. 이하, [math]\displaystyle{ f_x = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이다.
- [math]\displaystyle{ {M_y - N_x \over N} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ x }[/math]만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over N} \, \mathrm{dx}} }[/math] 이다.
- [math]\displaystyle{ {M_y - N_x \over M} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ y }[/math]만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over M} \, \mathrm{dy}} }[/math] 이다.
1계 선형 상미분방정식[편집 | 원본 편집]
1계 선형 상미분방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ a_1(x){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + a_0(x) y = f(x) }[/math]
양변을 [math]\displaystyle{ a_1(x) }[/math] 로 나누면
[math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + P(x)y = Q(x) }[/math]와 같이 쓸 수 있다. 이를 표준형이라고 한다.
제차일 경우, 즉 [math]\displaystyle{ Q(x) = 0 }[/math]일 때는 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over y} = -P(x)\mathrm{dx} }[/math]이므로 변수분리형이고, 적분하면 풀 수 있다.
비제차일 경우, 그 적분인수는 [math]\displaystyle{ \mu (x) = e^{\int P(x)\, \mathrm{dx}} }[/math] 이고, 해는
[math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) }[/math] 이다.
증명은 간단하다.
양변에 적분인수를 곱하면,
[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이고, 이것은 곧 [math]\displaystyle{ \left(y\mu\left(x\right)\right)'=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 [math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) }[/math] 이다.
치환[편집 | 원본 편집]
변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다.
첫번째 경우[편집 | 원본 편집]
방정식 [math]\displaystyle{ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 }[/math]가 [math]\displaystyle{ M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y), N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y) }[/math]를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를
[math]\displaystyle{ M(x,y)=x^\alpha M(1,u), N(x,y)=x^\alpha N(1,u)(u=y/x) }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ M(x,y)=y^\alpha M(v,1), N(x,y)=y^\alpha N(v,1)(v=x/y) }[/math] 형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자. [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ dy=udx+xdu }[/math] 꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면
[math]\displaystyle{ x^\alpha M(1,u)dx+x^\alpha N(1,u)(udx+xdy)=0 }[/math] 이 된다. [math]\displaystyle{ x^\alpha }[/math]로 나누면
[math]\displaystyle{ M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0 }[/math] 꼴이 되고, [math]\displaystyle{ (M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0 }[/math] 로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면
[math]\displaystyle{ {dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0 }[/math] 이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x=vy }[/math] 를 대입하여 풀면 된다.
두번째 경우[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ {dy \over dx}=f(Ax+By+C), B\neq(0) }[/math]를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게 [math]\displaystyle{ u=Ax+By+C }[/math] 로 치환하여 풀 수 있다.
베르누이 방정식[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ {dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^n }[/math] 꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)이라고 한다. [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ Q (x)=0 }[/math]인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우 [math]\displaystyle{ u=y^{1-n} }[/math] 로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다.
2계 이상의 상미분 방정식[편집 | 원본 편집]
여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다.
제차[편집 | 원본 편집]
적당한 실수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=e^{rt} }[/math]라 가정한다. 이를 [math]\displaystyle{ ay''+by'+cy=0 }[/math]에 넣고 간단히 정리하면 [math]\displaystyle{ ar^2+br+c=0 }[/math]이다. 이 방정식의 근을 [math]\displaystyle{ r_1,\,r_2 }[/math]라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다.
1. [math]\displaystyle{ r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R} }[/math]:
[math]\displaystyle{ y=e^{r_1t},\,y=e^{r_2t} }[/math]가 두 특수해가 된다. 일반해는 특수해의 선형결합이므로, 적당한 실수 [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t} }[/math]가 해.
2. [math]\displaystyle{ r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{C} }[/math]:
두 근이 복소수인 경우. [math]\displaystyle{ r_1=\alpha+i\beta }[/math]라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ e^{r_1t}=e^{\alpha t}\left(\cos\beta t+i\sin\beta t\right) }[/math]이다 (오일러의 공식). 적당한 연산을 통해 실수부와 허수부가 각각 원 방정식의 특수해가 됨을 알 수 있다. 더욱이 이 두 특수해는 선형 독립이므로, [math]\displaystyle{ e^{\alpha t}\left(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t\right) }[/math]가 일반해이다.
3. [math]\displaystyle{ r_1=r_2 }[/math]:
먼저 [math]\displaystyle{ e^{r_1t} }[/math]가 한 해임을 알 수 있다. 이를 [math]\displaystyle{ y_1 }[/math]이라 하자. 나머지 한 특이해를 찾기 위해 Variation of Parameter 방법을 사용한다.
적당한 [math]\displaystyle{ v\left(t\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y_2=y_1v }[/math]가 방정식 [math]\displaystyle{ y''+Py'+Q=0 }[/math]의 해라고 가정하자. 여기에 [math]\displaystyle{ y_2 }[/math]를 대입하고 정리하면 [math]\displaystyle{ y_1v''+\left(2y_1'+Py_1\right)v'=0 }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ y_1\neq0 }[/math]이라고 가정하면, [math]\displaystyle{ v''+\left(\frac{2y_1'}{y_1}+P\right)v'=0 }[/math]이고, 이는 [math]\displaystyle{ v' }[/math]에 관한 일차 선형 상미분 방정식이다. 이를 풀어주면 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=\int{\frac{\exp\left(-\int P\left(t\right)\mathrm{dt}\right)}{{y_1}^2}}\mathrm{dt} }[/math]이다. 특이할 점은, [math]\displaystyle{ y''+\frac{b}{a}y'+\frac{c}{a}y=0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=t }[/math]라는 것이다. 따라서 두번째 특수해는 [math]\displaystyle{ y_2=te^{r_1t} }[/math]임을 알 수 있고, 따라서 일반해는 [math]\displaystyle{ c_1e^{r_1t}+c_2te^{r_1t} }[/math]이다.
비제차[편집 | 원본 편집]
제차의 일반해를 [math]\displaystyle{ y_h }[/math], 비제차의 한 특수해를 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ y=y_h+\psi }[/math]는 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 된다. 증명은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \phi }[/math]가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \phi-\psi }[/math]는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \phi-\psi=y_h }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \phi=y_h+\psi }[/math]이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 [math]\displaystyle{ y_h+\psi }[/math]임을 나타낸다.
문제는 여기서 어떻게 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들.
- Variaion of Parameters: 적당한 [math]\displaystyle{ u_1\left(t\right),\,u_2\left(t\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \psi=u_1y_1+u_2y_2 }[/math]라 가정하자 ([math]\displaystyle{ y_1,y_2 }[/math]는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면 [math]\displaystyle{ {u_1}'=-\frac{y_2g}{W\left[y_1,y_2\right]},\,{u_2}'=\frac{y_1g}{W\left[y_1,y_2\right]} }[/math]이다 ([math]\displaystyle{ g }[/math]는 비제차 항, [math]\displaystyle{ W }[/math]는 Wronskian).
- Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 복소수를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다.
- 라플라스 변환
일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자.
상수계수 상미분 방정식[편집 | 원본 편집]
차수가 3 이상일 경우에는 기본적으로 2계 상미분 방정식과 동일한 방법을 사용한다. 비제차의 경우에는 Judicious Guessing이나 라플라스 변환을 사용해 특수해를 찾는 것도 동일.
비선형 상미분방정식[편집 | 원본 편집]
연립 미분방정식[편집 | 원본 편집]
미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 행렬이 필수이며, 고유값과 같은 선형대수학적 지식도 필요하다.
편미분방정식(PDE)[편집 | 원본 편집]
편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다.
수치해석적 방법[편집 | 원본 편집]
정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다.
각주
- ↑ 일차가 아닌 모든 함수, 즉 이차 이상의 다항함수, [math]\displaystyle{ \sin }[/math]와 같은 초월함수 등