오차함수

오차함수(Error function)는 특수 함수의 일종으로, 정규분포와 밀접한 관련이 있는 함수이다. 가우스 오차 함수라고도 부른다.

정의

오차함수는 아래와 같이 가우스 함수의 정적분을 이용해 정의한다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt }[/math]

적분 앞에 붙은 계수는 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \pm\infty} \operatorname{erf}(x)=\pm 1 }[/math](복부호 동순)이 되도록 맞춘 것이다.

특징

오차함수는 지수함수의 급수 전개를 이용해 아래와 같이 이끌어낼 수 있으며, 실수 및 복소수 전체 구간에서 수렴한다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\cdots \right) }[/math]

복소평면 상에서 극한은 편각에 따라 달라진다. [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \frac{3\pi}{2} }[/math]라 할 때,

[math]\displaystyle{ \lim_{\lambda \to \infty} \operatorname{erf}(\lambda e^{i\theta})=\begin{cases} 1 & (-\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}) \\ -1 & (\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}) \end{cases} }[/math]

이고, 나머지 편각에서는 발산한다. 즉 실수부의 절댓값이 허수부의 절댓값보다 크거나 같은 방향에서 수렴한다.

도함수 및 부정적분

도함수는 정의로부터 쉽게 이끌어낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} }[/math]

부정적분은 부분적분으로 유도할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{erf}(x)dx=x\operatorname{erf}(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}+C }[/math]

정규분포와의 관계

평균이 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]이고 표준편차가 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]인 정규분포에서는

[math]\displaystyle{ P(x_1 \leq X \leq x_2)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{erf}\left(\frac{x_2-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)-\operatorname{erf}\left(\frac{x_1-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right) \right) }[/math]

표준정규분포의 경우는

[math]\displaystyle{ P(a \leq Z \leq b)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{erf}\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)-\operatorname{erf}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \right) }[/math]

다른 형태

누적분포함수(Cumulative distribution function)는 표준정규분포의 구간에 따른 확률을 나타낸다. 실수 상에서 오차함수의 치역은 -1부터 1까지, 누적분포함수는 0부터 1까지이다.

[math]\displaystyle{ \Phi(x)=P(-\infty\lt Z\lt x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{\frac{-t^2}{2}}dt=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right) }[/math]

여오차함수(Complementary error function)는 적분구간이 아래끝 0 대신 위끝 무한대 기준이다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}dt }[/math]

복소오차함수(Imaginary error function)은 피적분함수가 [math]\displaystyle{ t \to it }[/math]와 같이 바뀐 형태를 한다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{erfi}(x)=-i\operatorname{erf}(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}dt }[/math]

같이 보기

• 정규분포
• 프레넬 적분