람베르트 W 함수

람베르트 W 함수(Lambert W function)는 특수 함수의 일종으로, 특정 함수의 역함수로 정의한다. 이 함수는 초등함수로 표현할 수 없다.

정의

실수 영역에서 정의된 [math]\displaystyle{ f(x)=xe^x }[/math]는 [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math]에서 감소하고 [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]에서 증가한다. 이에 따라 역함수는 둘로 나눌 수 있고, 이것이 람베르트 W 함수이다. 특별한 언급이 없으면 보통 [math]\displaystyle{ W_0(x) }[/math]를 가리키며, 간단히 [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]라 한다.

• [math]\displaystyle{ f:(-\infty, \infty) \to [-1/e, \infty) }[/math]
• [math]\displaystyle{ W_0(x)=f^{-1}(x), W_0: [-1/e, \infty) \to [-1, \infty) }[/math]
• [math]\displaystyle{ W_{-1}(x)=f^{-1}(x), W_{-1}: [-1/e, 0) \to (\infty, -1] }[/math]
• 역함수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ W(x)e^{W(x)}=x }[/math]

특수한 방정식의 해

[math]\displaystyle{ x^x=a\ (a \geq e^{-1/e}) }[/math]의 해를 람베르트 W 함수로 나타낼 수 있다.

양 변에 로그를 취하면 [math]\displaystyle{ x \ln x=e^{\ln x}\ln x=\ln a }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ W(e^{\ln x}\ln x)=\ln x= W(\ln a) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x=e^{W(\ln a)} }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ a \geq 1 }[/math]이면 실수 해는 [math]\displaystyle{ x=e^{W_0(\ln a)} }[/math] 하나만 나오지만 [math]\displaystyle{ e^{-1/e} \leq a\lt 1 }[/math]인 경우 [math]\displaystyle{ x=e^{W_{-1}(\ln a)} }[/math]도 실수 해가 될 수 있다.

가령 [math]\displaystyle{ a=\frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]인 경우 해는 [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{2} \text{ or } \frac{1}{4} }[/math]이다. 람베르트 W 함수와 연관 짓자면 [math]\displaystyle{ W_0(-\ln 2/2)=-\ln 2\gt -1, W_{-1}(-\ln 2/2)=-\ln 4\lt -1 }[/math]이다.

급수 전개

람베르트 W 함수는 [math]\displaystyle{ |x|\lt \frac{1}{e} }[/math]에서 아래와 같이 급수 전개를 할 수 있다.

[math]\displaystyle{ W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n=x-x^2+\frac{3}{2}x^2-\frac{8}{3}x^3+\frac{125}{24}x^4-\cdots }[/math]

도함수 및 부정적분

[math]\displaystyle{ W(x)e^{W(x)}=x }[/math]의 양 변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 미분하면 [math]\displaystyle{ W'(x)e^{W(x)}+W(x)W'(x)e^{W(x)}=1 }[/math]이므로, 도함수는

[math]\displaystyle{ W'(x)=\frac{1}{(W(x)+1)e^{W(x)}}=\frac{W(x)}{(W(x)+1)x} }[/math]

임을 알 수 있다.

부정적분의 경우, [math]\displaystyle{ x=ye^y }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ W(x)=y, dx=(y+1)e^y dy }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ \int W(x)dx=\int y(y+1)e^y dy=(y^2-y+1)e^y+C=\left(y-1+\frac{1}{y}\right)x+C=\left(W(x)-1+\frac{1}{W(x)}\right)x+C }[/math]

이다.