디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)는 복소수에서 복소수로 대응하는 함수로, 디리클레 급수의 일종이다.
정의[편집 | 원본 편집]
디리클레 L-함수는 디리클레 지표 [math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math]을 포함한 무한급수로 정의한다. 이때 [math]\displaystyle{ \Re(s)\gt 1 }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} }[/math]
이 급수는 리만 제타함수와 같이 오일러 곱으로도 표현할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ L(s, \chi)=\prod_{\text{primes } p}\frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}} }[/math]
특수한 경우[편집 | 원본 편집]
디리클레 지표에 따라 함수도 여러 가지가 나온다. 주기가 [math]\displaystyle{ k }[/math]인 디리클레 지표는 [math]\displaystyle{ \chi: \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} \to \mathbb{C} }[/math]로 대응하고, [math]\displaystyle{ \gcd(n, k) \neq 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \chi(n)=0 }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ k=1, \chi(n)=1 }[/math]이면 리만 제타함수가 된다.
- [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} }[/math]
- [math]\displaystyle{ k=4, \chi(1)=1, \chi(3)=-1 }[/math]이면 디리클레 베타함수가 된다.
- [math]\displaystyle{ \beta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} }[/math]
- 또, 주지표 [math]\displaystyle{ \chi=\chi_0 }[/math]의 경우 [math]\displaystyle{ \gcd(n, k)=1 }[/math]인 모든 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \chi_0(n)=1 }[/math]이므로, 함수는 리만 제타함수로 표현할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ P(k)=\{\text{prime }p: p\mid k \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ L(s, \chi_0)=\sum_{n \geq 1, \gcd(n, k)=1}\frac{1}{n^s}=\zeta(s) \prod_{p \in P(k)}(1-p^{-s}) }[/math]