정의[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]에 대해 역관계 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]이 함수라면, [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]을 역함수(inverse function)라고 한다.
존재 조건과 유일성[편집 | 원본 편집]
- (존재 조건) 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]가 일대일 대응인 것은 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다.
[math]\displaystyle{ (\Longrightarrow) }[/math] [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역관계를 [math]\displaystyle{ g }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ B }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 위로의 함수이므로 [math]\displaystyle{ (a,b)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]이다. 즉 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다고 말할 수 있다.
이제 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a_1,a_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (b,a_1)\in g, (b,a_2)\in g }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ (a_1,b)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (a_2,b)\in f }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수이므로 [math]\displaystyle{ a_1=a_2 }[/math]이다.
따라서 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 함수이므로 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수는 존재한다.
[math]\displaystyle{ (\Longleftarrow) }[/math] [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다고 가정하고 [math]\displaystyle{ g }[/math]라고 표기하자. [math]\displaystyle{ (x_1,y)\in f,(x_2,y)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (y,x_1)\in g,(y,x_2)\in g }[/math]이다. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 함수이므로 [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 함수이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 함수이므로 [math]\displaystyle{ (b,a)\in g }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재하고, 따라서 임의의 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (a,b)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 위로의 함수이다.
[math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 대응이다.
- (유일성) 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 역함수가 존재한다면 유일하다.
함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 두 역함수를 [math]\displaystyle{ g_1,g_2 }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ i_A:A\to A,i_B=B\to B }[/math]를 항등함수라고 하면
- [math]\displaystyle{ g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2 }[/math]
이다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ f(x)=2x }[/math]로 정의되었을 때, [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x }[/math]
- [math]\displaystyle{ f: A \to B }[/math]가 단지 일대일(one‐to‐one)인 경우, 공역을 치역으로 한정한 함수 [math]\displaystyle{ f: A \to f\left(A\right) }[/math]는 일대일대응이고, 이는 역함수 [math]\displaystyle{ f^{-1}|_{f\left(A\right)} }[/math]를 가진다.