구데르만 함수

구데르만 함수(Gudermannian function)는 특수 함수의 일종으로, 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계를 연결하는 역할을 한다.

정의

구데르만 함수는 쌍곡선함수 중 시컨트 함수의 적분으로 정의한다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{gd}(x)=\int_0^x \operatorname{sech} t\ dt }[/math]

그러면 역함수는 삼각함수의 시컨트의 적분이 된다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{gd}^{-1}(x)=\int_0^x \sec t\ dt }[/math]

실수 영역에서는 [math]\displaystyle{ \operatorname{gd}: (-\infty, \infty) \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) }[/math]로 대응하며, 역함수는 두 구간이 서로 반대가 된다.

복소수 영역에서는 [math]\displaystyle{ \operatorname{gd}: \left\{z: -\frac{\pi}{2} \lt \Im(z)\lt \frac{\pi}{2} \right\} \to \left\{z: -\frac{\pi}{2} \lt \Re(z)\lt \frac{\pi}{2} \right\} }[/math]로 해석적 확장을 할 수 있다. 또, [math]\displaystyle{ \sec z=\operatorname{sech} iz }[/math]이므로, 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \operatorname{gd}(iz)=i\operatorname{gd}^{-1}(z), \operatorname{gd}^{-1}(iz)=i\operatorname{gd}(z) }[/math]이다.

삼각함수 및 쌍곡선함수 표현

[math]\displaystyle{ \operatorname{gd}(\alpha)=\beta, \operatorname{gd}^{-1}(\beta)=\alpha }[/math]일 때, 다음 관계가 성립한다.

• [math]\displaystyle{ \tanh \frac{\alpha}{2} = \tan \frac{\beta}{2} = u }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^\alpha = \tan \left(\frac{\beta}{2}+\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1+u}{1-u} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sinh \alpha = \tan \beta = \frac{2u}{1-u^2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cosh \alpha = \sec \beta = \frac{1+u^2}{1-u^2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \tanh \alpha = \sin \beta = \frac{2u}{1+u^2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{sech} \alpha = \cos \beta = \frac{1-u^2}{1+u^2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \coth \alpha = \csc \beta = \frac{1+u^2}{2u} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{csch} \alpha = \cot \beta = \frac{1-u^2}{2u} }[/math]

기하학적 의미

원 [math]\displaystyle{ x^2+y^2=1 }[/math]과 쌍곡선 [math]\displaystyle{ x^2-y^2=1 }[/math]이 주어져 있을 때, 원 위의 점 [math]\displaystyle{ (\cos\theta, \sin\theta)\ \left(|\theta|\lt \frac{\pi}{4} \right) }[/math]를 임의로 지정한다. 그러면 원점과 이 점을 잇는 직선은 [math]\displaystyle{ y=x\tan\theta }[/math]이다. 이 직선이 쌍곡선의 오른편과 만나는 점을 [math]\displaystyle{ (\cosh\phi, \sinh\phi) }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ \tan\theta=\tanh\phi }[/math] 및 [math]\displaystyle{ 2\phi=\operatorname{gd}(2\theta) }[/math]가 성립한다.

급수 전개

이 함수는 [math]\displaystyle{ |z|\lt \frac{\pi}{2} }[/math] 내의 복소수에서 아래와 같이 전개할 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ E_n }[/math]은 오일러 수이다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{sech}z=\sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}z^n=1-\frac{1}{2}z^2+\frac{5}{24}z^4-\frac{61}{720}z^6+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{gd}(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{(n+1)!}z^{n+1}=z-\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{24}z^5-\frac{61}{5040}z^7+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sec z=\sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}(iz)^n=1+\frac{1}{2}z^2+\frac{5}{24}z^4+\frac{61}{720}z^6+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{gd}^{-1}(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{i(n+1)!}(iz)^{n+1}=z+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{24}z^5+\frac{61}{5040}z^7+\cdots }[/math]