초딩: 0 나누기 0은 0이야!
극한을 배운 고딩: 0/0꼴 극한은 계산할 수 있는데요? 0/0=∞
0/0 이 상대라면 로피탈 정리를 쓸 수밖에 없다 미분불능인 함수라면 어떨까?
0으로 나누기(divide by 0)는 산술에서 정의하지 않는 것들 중 하나이다. 어떤 수를 0으로 나눌 경우 일반적인 수체계에는 모순이 생긴다.
0으로 나누기의 무서움
0으로 나눌 수 있다고 가정하자. 그러면 다음과 같은 무서운 일이 일어난다.
모든 실수는 0이다
임의의 실수 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 0으로 나눌 수 있다고 가정하자. 이때 몫을 q라 하면 정수론의 나머지 정리에 의해 [math]\displaystyle{ a=0\cdot q }[/math]인 유일한 [math]\displaystyle{ q }[/math]가 존재하고, 여기서 0=2·0이므로
- [math]\displaystyle{ a=0\cdot q=(2\cdot 0)q=2(0\cdot q)=2a }[/math]
이고, [math]\displaystyle{ a=0 }[/math]이다. 즉 모든 실수는 0이다.
시공간의 오그라듦
초끈 이론에 따르면 이 세계는 11차원 시공간이고, 각각의 좌표축을 xi이라 하자. 이때 0으로 나눌 수 있으면 위에 의해 모든 실수가 0이 되며, 이로 인하여 시공간은 한 점(원점)으로 수축하게 된다.
이렇게 시공간이 한 점으로 수축하면 우주 초기의 상태, 즉 온도가 너무 높아온도도 0 K잖아? 물질이 존재할 수 없고 에너지만이 있는 상태가 되며, 신기하게도 에너지가 한 곳으로 모여 열역학적 엔트로피가 줄어들게 된다! 큐베님이 좋아합니다 이로써 열역학 제2 법칙은 깨지게 되며, 이 생각을 하기만 한 과학자들, 특히 물리화학자들의 멘탈이 게슈탈트 붕괴하고 뇌세포를 이루는 원자의 원자핵이 알파 붕괴, β+ 붕괴하여 전 생명체가 방사선에 노출되어 죽게 된다.
빅뱅 이론과 0으로 나누기
0으로 나누면 우주가 한 점으로 모이고, 빅뱅 후에는 우주가 팽창하는데, 이 둘이 평형을 이루어 일정한 크기의 우주를 유지한다. 우주의 엔트로피는 변하지 않으며, 이후로 우주가 점점 수축함에 따라 급격히 한 점으로 모이게 된다.
한 점으로 모인 우주는 역시 엔트로피의 변화 dS를 0으로 유지하고, 이를 대통일 시대라고 한다. 이때는 모든 힘과 에너지가 하나의 형태로 뭉쳐진다.
이를 예견한 과학자와 수학자들의 노력
위의 상상이 실제로 일어날 것을 예견하고 과학자들은 막대한 에너지로 부분적인 태양계 주위의 공간 수축을 막으려 하는데, 이 에너지를 모으려 마법소녀와 큐베를 불러들인다. 마법소녀의 힘으로 시공간을 유지하고 큐베의 능력으로 그 엔트로피를 감소시킨다. 하지만 이에도 약점이 있었는데, 그것이 암흑 에너지였다.
암흑 에너지는 우주의 수축을 가속시켰으며, 마법소녀로는 그를 감당할 수 없자 에이브러햄 로빈슨이라는 수학자는 비표준 해석학의 도입을 주장하고, 나누는 0을 무한소(infinitesimal)로 바꿀 것을 제안한다. 이에 따르면 모든 실수를 0(무한소)으로 나누어도 모든 실수가 0이 되는 경우는 없다. 그리하여 지구는 평화로워졌다.
세종대왕의 선견지명
전세계가 저런 우여곡절을 겪었지만 유독 한반도만이 조용하게 지나갔는데, 덕분에 학문의 발전이 별로 없어 조선의 궁궐에 당도한 세종은 위의 가엾고 딱한 사정을 예상하고 0으로 나누는 글자인 여린히읗을 만들었다. 하지만 이는 분자가 없어 무용(無用)할 수가 있기에, 분자가 있는 글자인 긍(7/0), 릉(2/0), 믕(□/0), 응(0/0) 등의 글자를 추가로 만드셨다. 이는 조선의 역사에 길이 남을 위대한 업적이다.
“ 이런젼차로零영으로나누기롤몯핧노미하니라
내이롤爲위하야어엿비너겨새로이字자롤맹고노니사람마다해여수위니니겨날로쑤메便뼌安안킈하고져핧따로미니라“ — 솅종엉졩, 훈민정음 언해본
0으로 나누기가 금칙사항☆정의되지 않은 이유
이 이하는 거짓없이 작성되었습니다. 논리적인 내용으로 이루어져 있으며, 안심하고 읽으셔도 됩니다.
수학에서 0으로 나누기는 정의되어 있지 않으며, 이는 곱셈 연산의 결과를 유일하게 하기 위해서이다. [math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 나눈 결과가 [math]\displaystyle{ c }[/math]라는 것은 [math]\displaystyle{ a=bc }[/math]와 완전히 같으며, 여기서 [math]\displaystyle{ b }[/math]가 0이라면 [math]\displaystyle{ a }[/math] 역시 0일 수밖에 없다. 즉 이는 [math]\displaystyle{ c }[/math]에 대한 부정형이 되어 결과가 유일하지 않다.
흔히 말하는 1/0=∞는 사실 극한 형태이며, [math]\displaystyle{ \lim_{n \searrow 0} \frac{1}{n} = \infty }[/math]를 나타낸다. 만약 위 식대로 쓰면 ∞=1/0=1/(-0)=-∞라는 ㅁㄴㅇㄹ한 결과가 나오게 된다. 그런데 이를 참으로 여겨 어??? 수직선([math]\displaystyle{ \mathbb R \cup \{\infty \} }[/math])을 원으로, 복소평면([math]\displaystyle{ \mathbb C \cup \{\infty \} }[/math])을 구면으로 만들 수도 있다. 이를 리만 구라고 한다. 참고바람
프로그래밍 언어의 처리
위에 있는 0으로 나눴더니 스파크가 튀면서 칩이 손상된다는 동영상은 조크다. 0으로 나눈다고 스파크 튀면서 불나진 않으니 안심. 대부분의 프로그래밍 언어에서는 0으로 나누면 Divide-by-Zero 오류를 내고, 예외 처리가 없으면 시스템이 정지된다. 하지만 지금 시대에 이런 기초적인 예외 처리를 하지 않는 경우가 있을리가. 0으로 나눈다고 시스템이 정지되는 일도 없다는 이야기.하지만 의도한다면 어떨까