함수: 두 판 사이의 차이

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정의[편집 | 원본 편집]

쉬운 정의[편집 | 원본 편집]

두 변수 x, y가 있을 때, x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때, y를 x의 함수(function of x)라고 하고,

y=f(x)

와 같이 나타낸다.

예를 들어 한 권에 1,000원짜리 공책을 x권 사는 경우를 생각해 보자. 그럼 지불해야 할 금액 y원은 아래와 같다.

y = f(x)
구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	3,000	4,000	5,000

이처럼 공책을 한 권 사면 천 원, 두 권 사면 이천 원이라는 식으로 가격이 하나로 정해지지, 한 권 샀는데 가격이 천 원이지만 이천 원이기도 하다는 식으로 되지는 않는다. 따라서 위 지불할 금액 y는 과연 구입한 권수 x의 함수가 된다.

이때 공책 세 권을 살 때(즉 x=3)의 가격은 함수의 이름 f를 써서 f(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 f(3)=3,000임을 알 수 있다. 이러한 x에 따라 결정된 y의 값, 즉 f(1), f(3) 등을 함숫값이라고 한다.

위 함수는 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하기 위해서는 이 함수식에 원하는 x 값을 대입하면 된다.

한편, 하나의 x 값에 대한 y 값은 하나여야 하지만, 하나의 y 값에 대한 x 값은 여럿이어도 된다. 예를 들어 아래와 같아도 여전히 함수이다.

y = g(x)
구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	2,000	3,000	4,000

~~(학기초에 공책 3권에 2,000원으로 묶음판매한 경우)~~

이때는 앞서와 같이 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타내기는 곤란하다. 그렇다고 해서 함수가 아닌 것은 아니다! 즉 규칙을 찾기 곤란하다고 함수가 아닌 것은 아니다. 언제나 정의대로 x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때 y를 x의 함수라고 한다.

그럼 이런 경우에는 함숫값은 어떻게 구하는가? 표를 보고 구하면 된다.

진짜 정의는 아래에 있다.

정의[편집 | 원본 편집]

이항관계 [math]\displaystyle{ f\subseteq X\times Y }[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 다음 조건

[math]\displaystyle{ \left(x,y\right)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math]가 존재한다.
[math]\displaystyle{ \left(x,y_1\right)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left(x,y_2\right)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

을 만족하면, f를 X에서 Y로의 함수(function)라고 하고, [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]로 쓴다.^[1] 여기서 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 정의역(Domain), [math]\displaystyle{ Y }[/math]를 공역(Codomain)이라 부른다. 즉, 함수가 되기위해서는 정의역의 각 원소를 단 하나의 공역의 원소와 대응이 되어야 한다. 해당 특성을 'well-defined'라고 부른다.

대안으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 f가 조건

[math]\displaystyle{ \left(x,y_1\right)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left(x,y_2\right)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

를 만족하면 f를 함수라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y }[/math]라면 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math]로 표기한다.^[2]

책에 따라서는 함수라는 말 대신 사상(map)이라는 말을 쓰기도 한다. 일반적으로 함수와 사상은 동의어지만, 사상은 범주론에서 좀 더 일반화 된 의미를 가진다. 해석학에서는 그냥 동의어라 생각하자. 이제 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]에 대해, 정의역의 원소를 [math]\displaystyle{ x }[/math], 공역의 원소를 [math]\displaystyle{ y }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f:x\mapsto y }[/math]는 우리가 흔히 알고 있는 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=y }[/math]와 동치이다.

정의역의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해, 집합 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(a\right)|a\in A\right\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 상(image)라 하며, [math]\displaystyle{ f\left(A\right) }[/math]라 쓴다. 반대로 공역의 부분집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left\{x\in X|f\left(x\right)\in B\right\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 원상(preimage) 혹은 역상(inverse image)이라 부르며, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(B\right) }[/math]로 쓴다. 특히, 정의역의 상을 치역(range)이라 부른다.

마지막으로 함수의 그래프는 [math]\displaystyle{ X\times Y }[/math]의 부분집합이다.

전사, 단사[편집 | 원본 편집]

이와 관련한 내용은 전사함수, 단사함수, 일대일대응에서 볼 수 있습니다.

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]에 대해, 공역과 치역이 같을 경우, 전사 함수(onto, surjection)라 부른다. 그리고 치역의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 다른 원상을 가지면 그 함수를 단사 함수(one-to-one, injection)라 부른다. 간단하게 수식으로 표현하면, [math]\displaystyle{ \text{ran }f=Y }[/math]일 때 전사, [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2 }[/math]일 때 단사가 된다. 만약 전사이며 단사인 함수라면, 전단사 함수(one-to-one correspond, 1-1 onto, bijection)가 된다. 뭔가 어려운 어휘를 쓴 것 같지만, 단사 함수는 일대일 함수를 말한다. 그리고 전단사 함수는 일대일 대응 함수를 부르는 말이다.

전사, 단사 함수의 존재를 통해 두 집합의 크기(Cardinality)를 비교할 수 있다. 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 전사 함수(onto)라면, 집합 X는 집합 Y보다 크거나 같다.(|X|≥|Y|) 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 단사 함수(one-to-one)라면, 집합 X는 집합 Y보다 작거나 같다.(|X|≤|Y|) 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 전단사 함수라면, 집합 X와 집합 Y의 크기는 서로 같다. 자세한 것은 농도 (수학) 참조.

역함수[편집 | 원본 편집]

이와 관련한 내용은 역함수에서 볼 수 있습니다.

간단하게 설명하면, 정의역과 치역을 뒤집은 것. 어떤 함수의 역함수가 존재하기 위해서는, 원 함수가 반드시 (전)단사 함수여야 한다. 고등학교에서는 일대일 대응을 조건으로 가르치지만 일대일만 되도 역함수는 존재한다. [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]의 역함수는 [math]\displaystyle{ f^{-1}:f\left(X\right)\to X }[/math]가 되며, 여기서 ^-1는 지수와는 조금 다른 의미이다. 만약 원 함수가 단사가 아니어서 역함수가 존재하지 않아도, 정의역을 잘 정의해 주어 역함수가 존재하게 만들 수 있다. 역삼각함수가 대표적인 예.

항등함수[편집 | 원본 편집]

이와 관련한 내용은 항등함수에서 볼 수 있습니다.

정의역과 공역이 같은 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \forall x\in X,\,f\left(x\right)=x }[/math]이면은 그 함수를 항등함수라 부른다. 간단히 설명하면 집어넣은 것 그대로 튀어나오는 함수. 표기는 [math]\displaystyle{ i_X,I_X,id_X }[/math]등 다양한 표기법이 있다. 참고로 항등함수는 필연적으로 전단사 함수가 된다.

합성[편집 | 원본 편집]

이와 관련한 내용은 합성함수에서 볼 수 있습니다.

한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역의 부분집합이라고 하자. 이 두 함수를 이어서 한번에 나타내는 것을 함수의 합성(composition)이라 부른다. 고등학교에서는 치역과 정의역이 같아야 한다고 설명하지만 굳이 그럴 필요는 없다. 수식으로 표현하면, [math]\displaystyle{ f:X\to Y,\,g:U\to V,\,V\subseteq X }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ f\circ g:U\to Y }[/math]가 된다. 합성된 두 함수를 표시할 때는 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]를 쓰며, 다른 표현으로는 [math]\displaystyle{ f\left(g\left(x\right)\right) }[/math]이 있다. 중요한 것은, 합성된 함수를 풀어줄 때는 오른쪽부터 계산해 주어야 한다.

조건만 맞다면, 자기 자신을 합성할 수도 있다. [math]\displaystyle{ f\circ f }[/math], 혹은 [math]\displaystyle{ f^2 }[/math]라 표기하며, ²는 역함수와 마찬가지로 지수와는 다른 의미를 가진다. 즉, [math]\displaystyle{ f^2\left(x\right)\neq f\left(x\right)\times f\left(x\right) }[/math]라는 의미. 만약 함수의 거듭제곱을 표현하고 싶다면 [math]\displaystyle{ \left(f\left(x\right)\right)^2 }[/math] 이렇게 표현하자. 단, 삼각함수만은 예외다.

함수의 합성은 결합법칙이 성립한다. 하지만 교환법칙은 성립하지 않는다. 또한, 어떤 함수와 그 역함수를 합성하면 항등 함수가 나온다.

같이 보기[편집 | 원본 편집]

각주

↑ Definition:Function. (2014, April 27). ProofWiki, Retrieved 13:04, June 9, 2015.
↑ Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded. CRC Press. ISBN 0824779150

[1] Definition:Function. (2014, April 27). ProofWiki, Retrieved 13:04, June 9, 2015.

[2] Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded. CRC Press. ISBN 0824779150

[1]

[2]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-{{학술}}
+{{다른뜻}}
-== 역사 ==
 == 정의 ==
 === 쉬운 정의 ===
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 이처럼 공책을 한 권 사면 천 원, 두 권 사면 이천 원이라는 식으로 가격이 하나로 정해지지, 한 권 샀는데 가격이 천 원이지만 이천 원이기도 하다는 식으로 되지는 않는다. 따라서 위 지불할 금액 ''y''는 과연 구입한 권수 ''x''의 함수가 된다.
-이때 공책 세 권을 살 때(즉 ''x''=3)의 가격은 함수의 이름 ''f''를 써서 ''f''(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 ''f''(3)=1,000임을 알 수 있다. 이러한 ''x''에 따라 결정된 ''y''의 값, 즉 ''f''(1), ''f''(3) 등을 함숫값이라고 한다.
+이때 공책 세 권을 살 때(즉 ''x''=3)의 가격은 함수의 이름 ''f''를 써서 ''f''(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 ''f''(3)=3,000임을 알 수 있다. 이러한 ''x''에 따라 결정된 ''y''의 값, 즉 ''f''(1), ''f''(3) 등을 함숫값이라고 한다.
 위 함수는 ''y'' = 1,000 ''x''라는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하기 위해서는 이 함수식에 원하는 ''x'' 값을 대입하면 된다.
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 진짜 정의는 아래에 있다.
 === 정의 ===
 [[관계 (수학)|이항관계]] <math>f\subseteq X\times Y</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 다음 조건
 *<math>\left(x,y\right)\in f</math>인 <math>y\in Y</math>가 존재한다.
 *<math>\left(x,y_1\right)\in f</math>이고 <math>\left(x,y_2\right)\in f</math>이면 <math>y_1=y_2</math>이다.
-을 만족하면, ''f''를 ''X''에서 ''Y''로의 '''함수(function)'''라고 하고, <math>f:X\to Y</math>로 쓴다.<ref>[https://proofwiki.org/w/index.php?title=Definition:Function Definition:Function]. (2014, April 27). ''ProofWiki'', Retrieved 13:04, June 9, 2015.</ref> 여기서 <math>X</math>를 '''정의역'''(Domain), <math>Y</math>를 '''공역'''(Codomain)이라 부른다. 즉, 함수가 되기위해서는 정의역의 각 원소를 단 하나의 공역의 원소와 대응이 되어야 한다.
+을 만족하면, ''f''를 ''X''에서 ''Y''로의 '''함수(function)'''라고 하고, <math>f:X\to Y</math>로 쓴다.<ref>[https://proofwiki.org/w/index.php?title=Definition:Function Definition:Function]. (2014, April 27). ''ProofWiki'', Retrieved 13:04, June 9, 2015.</ref> 여기서 <math>X</math>를 '''정의역'''(Domain), <math>Y</math>를 '''공역'''(Codomain)이라 부른다. 즉, 함수가 되기위해서는 정의역의 각 원소를 단 하나의 공역의 원소와 대응이 되어야 한다. 해당 특성을 'well-defined'라고 부른다.
 대안으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 ''f''가 조건
 : <math>\left(x,y_1\right)\in f</math>이고 <math>\left(x,y_2\right)\in f</math>이면 <math>y_1=y_2</math>이다.
-를 만족하면 ''f''를 함수라 한다. 만약 <math>\operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y</math>라면  <math>f: X \to Y</math>로 표기한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. ISBN 0824779150</ref>
+를 만족하면 ''f''를 함수라 한다. 만약 <math>\operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y</math>라면  <math>f: X \to Y</math>로 표기한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. {{ISBN|0824779150}}</ref>
-책에 따라서는 함수라는 말 대신 사상(map)이라는 말을 쓰기도 한다. 일반적으로 함수와 사상은 동의어지만, 사상은 범주론에서 좀 더 일반화 된 의미를 가진다. 해석학에서는 그냥 동의어라 생각하자. 이제 함수 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 정의역의 원소를 <math>x</math>, 공역의 원소를 <math>y</math>라 하자. 그럼 <math>f:x\mapsto y</math>는 우리가 흔히 알고있는 <math>f\left(x\right)=y</math>와 동치이다.
+책에 따라서는 함수라는 말 대신 사상(map)이라는 말을 쓰기도 한다. 일반적으로 함수와 사상은 동의어지만, 사상은 범주론에서 좀 더 일반화 된 의미를 가진다. 해석학에서는 그냥 동의어라 생각하자. 이제 함수 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 정의역의 원소를 <math>x</math>, 공역의 원소를 <math>y</math>라 하자. 그럼 <math>f:x\mapsto y</math>는 우리가 흔히 알고 있는 <math>f\left(x\right)=y</math>와 동치이다.
-정의역의 부분집합 <math>A</math>에 대해, 집합 <math>\left\{f\left(a\right)|a\in A\right\}</math>를 <math>A</math>의 '''상'''(image)라 하며, <math>f\left(A\right)</math>라 쓴다. 반대로 공역의 부분집합 <math>B</math>에 대해 <math>\left\{x\in X|f\left(x\right)\in B\right\}</math>를 <math>B</math>의 '''원상'''(preimage)라 부르며, <math>f^{-1}\left(B\right)</math>로 쓴다. 특히, 정의역의 상을 '''치역'''(range)이라 부른다.
+정의역의 부분집합 <math>A</math>에 대해, 집합 <math>\left\{f\left(a\right)|a\in A\right\}</math>를 <math>A</math>의 '''상(image)'''라 하며, <math>f\left(A\right)</math>라 쓴다. 반대로 공역의 부분집합 <math>B</math>에 대해 <math>\left\{x\in X|f\left(x\right)\in B\right\}</math>를 <math>B</math>의 '''원상(preimage)''' 혹은 '''역상(inverse image)'''이라 부르며, <math>f^{-1}\left(B\right)</math>로 쓴다. 특히, 정의역의 상을 '''치역(range)'''이라 부른다.
 마지막으로 함수의 그래프는 <math>X\times Y</math>의 부분집합이다.
 == 전사, 단사 ==
+{{참고|전사함수|단사함수|일대일대응}}
 함수 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 공역과 치역이 같을 경우, '''전사 함수'''(onto, surjection)라 부른다. 그리고 치역의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 다른 원상을 가지면 그 함수를 '''단사 함수'''(one-to-one, injection)라 부른다. 간단하게 수식으로 표현하면, <math>\text{ran }f=Y</math>일 때 전사, <math>f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2</math>일 때 단사가 된다. 만약 전사이며 단사인 함수라면, 전단사 함수(one-to-one correspond, 1-1 onto, bijection)가 된다. 뭔가 어려운 어휘를 쓴 것 같지만, 단사 함수는 '''일대일''' 함수를 말한다. 그리고 전단사 함수는 '''일대일 대응''' 함수를 부르는 말이다.
+전사, 단사 함수의 존재를 통해 두 집합의 크기(Cardinality)를 비교할 수 있다. 함수 <math>f:X\to Y</math>가 전사 함수(onto)라면, 집합 X는 집합 Y보다 크거나 같다.(|X|≥|Y|) 함수 <math>f:X\to Y</math>가 단사 함수(one-to-one)라면, 집합 X는 집합 Y보다 작거나 같다.(|X|≤|Y|) 함수 <math>f:X\to Y</math>가 전단사 함수라면, 집합 X와 집합 Y의 크기는 서로 같다. 자세한 것은 [[농도 (수학)]] 참조.
 == 역함수 ==
+{{참고|역함수}}
 간단하게 설명하면, 정의역과 치역을 뒤집은 것. 어떤 함수의 역함수가 존재하기 위해서는, 원 함수가 반드시 (전)단사 함수여야 한다. 고등학교에서는 일대일 대응을 조건으로 가르치지만 일대일만 되도 역함수는 존재한다. <math>f:X\to Y</math>의 역함수는 <math>f^{-1}:f\left(X\right)\to X</math>가 되며, 여기서 <sup>-1</sup>는 [[지수]]와는 조금 다른 의미이다. 만약 원 함수가 단사가 아니어서 역함수가 존재하지 않아도, 정의역을 잘 정의해 주어 역함수가 존재하게 만들 수 있다. [[삼각함수 #역삼각함수|역삼각함수]]가 대표적인 예.
-== 항등 함수 ==
+== 항등함수 ==
-정의역과 공역이 같은 함수 <math>f:X\to X</math>에 대해 <math>\forall x\in X,\,f\left(x\right)=x</math>이면은 그 함수를 '''항등 함수'''라 부른다. 간단히 설명하면 집어넣은 것 그대로 튀어나오는 함수. 표기는 <math>i_X,I_X,id_X</math>등 다양한 표기법이 있다. 참고로 항등함수는 필연적으로 전단사 함수가 된다.
+{{참고|항등함수}}
+정의역과 공역이 같은 함수 <math>f:X\to X</math>에 대해 <math>\forall x\in X,\,f\left(x\right)=x</math>이면은 그 함수를 '''항등함수'''라 부른다. 간단히 설명하면 집어넣은 것 그대로 튀어나오는 함수. 표기는 <math>i_X,I_X,id_X</math>등 다양한 표기법이 있다. 참고로 항등함수는 필연적으로 전단사 함수가 된다.
 == 합성 ==
-한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역의 부분집합이라고 하자. 이 두 함수를 이어서 한번에 나타내는 것을 함수의 합성(composition)이라 부른다. 고등학교에서는 치역과 정의역이 같아야 한다고 설명하지만 굳이 그럴 필요는 없다. 수식으로 표현하면, <math>f:X\to Y,\,g:U\to V,\,V\subseteq X</math>일 때, <math>f\circ g:U\to Y</math>가 된다. 합성된 두 함수를 표시할 때는 <math>\circ</math>를 쓰며, 다른 표현으로는 <math>f\left(g\left(x\right)\right)</math>이 있다. 중요한 것은, 합성된 함수를 풀어줄 때는 '''오른쪽'''부터 계산해 주어야 한다.
+{{참고|합성함수}}
+한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역의 부분집합이라고 하자. 이 두 함수를 이어서 한번에 나타내는 것을 함수의 합성(composition)이라 부른다. 고등학교에서는 치역과 정의역이 같아야 한다고 설명하지만 굳이 그럴 필요는 없다. 수식으로 표현하면, <math>f:X\to Y,\,g:U\to V,\,V\subseteq X</math>일 때, <math>f\circ g:U\to Y</math>가 된다. 합성된 두 함수를 표시할 때는 <math>\circ</math>를 쓰며, 다른 표현으로는 <math>f\left(g\left(x\right)\right)</math>이 있다. 중요한 것은, 합성된 함수를 풀어줄 때는 '''오른쪽'''부터 계산해 주어야 한다.
 조건만 맞다면, 자기 자신을 합성할 수도 있다. <math>f\circ f</math>, 혹은 <math>f^2</math>라 표기하며, <sup>2</sup>는 역함수와 마찬가지로 지수와는 다른 의미를 가진다. 즉, <math>f^2\left(x\right)\neq f\left(x\right)\times f\left(x\right)</math>라는 의미. 만약 함수의 거듭제곱을 표현하고 싶다면 <math>\left(f\left(x\right)\right)^2</math> 이렇게 표현하자. 단, [[삼각함수]]만은 예외다.
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 함수의 합성은 [[결합법칙]]이 성립한다. 하지만 [[교환법칙]]은 성립하지 않는다. 또한, 어떤 함수와 그 역함수를 합성하면 항등 함수가 나온다.
-== 관련 항목 ==
+== 같이 보기 ==
 *[[연속함수]]
 *[[삼각함수]]
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 {{각주}}
-[[분류:집합론]] [[분류:현대대수학]] [[분류:추상대수학]] [[분류:해석학]]
+[[분류:함수| ]]
+[[분류:집합론]] [[분류:추상대수학]] [[분류:해석학]]