토론:함수

역함수에 관하여

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1. 역함수에 관한 입장이 역함수 문서와 아주 일치하는 것 같지는 않습니다. 역함수 문서에서는 어떤 함수가 일대일대응인 것과 그 함수의 역함수가 존재하는 것이 동치라고 하고 증명하고 있는데, 이 문서에서는 “고등학교에서는 일대일 대응을 조건으로 가르치지만 일대일만 되도 역함수는 존재한다.”라고 하여 그러한 입장이 잘못된 것처럼 인식할 우려가 있습니다.

제가 보기에는 함수의 정의를 어떻게 하느냐에 따라 달라지는 문제 같습니다. 이 문서에서 함수의 정의를 두 가지로 하고 있는데, ProofWiki의 입장에 따르면 일대일대응일 것이 반드시 요구됩니다. 그러나 Hrbacek & Jech의 입장에 따르면, (솔직히 말하면 정의역을 정의하기도 전에 dom f라는 표현이 나오면 안 된다고 생각합니다만) 어쨌거나 역관계 f⁻¹에 대하여 dom f⁻¹ = f(X)인 것으로 생각하면 족하므로 굳이 전사함수일 것이 요구되지 않습니다. 이렇게 함수의 정의를 어떻게 하느냐에 따라 갈리는 문제이지, 고등학교 때는 어떻지만 사실은 그렇지 않다는 식으로 생각할 문제는 아닌 것 같습니다.

2. “여기서 <sup-1는 지수와는 조금 다른 의미이다.”라고 하고 있는데요, 여기에 대해서도 의문이 있습니다. 뭐 예를 들어 sin² x라고 할 때랑 sin⁻¹ x라고 할 때 그 의미가 다르다는 측면으로서는 이해가 갑니다. 그러나 예를 들어 f:X→X인 함수들 사이에서 함수의 합성이라는 연산을 생각할 때, 역함수를 표시하는 ⁻¹는 그 연산에 관한 역원이라는 뜻과 상통하고 그 연산에 관한 지수로 이해해도 아무런 문제가 없습니다. 이런데도 단순히 “지수와는 조금 다른 의미이다.”라고 할 수는 없을 것 같습니다. 그럼 지수가 아니면 뭘까요. 이 연산에 관한 지수인지 저 연산에 관한 지수인지가 문제가 된다면 모를까, 지수와 다른 무엇이라고 하기는 어려워 보입니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 13일 (화) 11:44:56 (KST)

1. 말씀하신대로 정의역에 따라 조건이 1-1이냐 1-1 onto냐가 결정됩니다. 역함수를 어떻게 정의하는지는 교과서마다 다르지만 1-1이 좀 더 약한 조건이므로 이 쪽이 좀 더 넓은 의미라 생각했습니다.
2. 지수와 다르다는 의미는 이런 뜻이었습니다: [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]을 예로 들면, 역삼각함수인 [math]\displaystyle{ \sin^{-1} x }[/math]와 지수 함수를 적용한 [math]\displaystyle{ \left(\sin x\right)^{-1} }[/math]은 다릅니다. 그 차이를 설명하고 싶었던 것입니다. --Skim (토론) 2015년 10월 13일 (화) 11:54:08 (KST)