하우스도르프 공간

위상공간의 분리공리
콜모고로프 공간 (T0)	프레셰 공간 (T1)	하우스도르프 공간 (T2)	우리손 공간 (T2½)
정칙공간 (T3)	완비정칙공간 (T3½)	정규공간 (T4)	완비정규공간 (T5)	완전정규공간 (T6)

위상공간 X의 서로 다른 임의의 점 [math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U, b\in V }[/math]이면 X를 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 또는 T₂ 공간이라고 한다.

예시

• 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

성질

• 하우스도르프 공간에서 수렴하는 점열의 극한값은 유일하다.

하우스도르프 공간 X에서 수렴하는 점열 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 서로 다른 극한값이 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 서로소인 [math]\displaystyle{ O_a,O_b\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in O_a , b\in O_b }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ N_a,N_b\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N_a , n \gt N_b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a , x_n \in O_b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n \gt \max\{N_a,N_b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a \cap O_b }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ O_a, O_b }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ O_a \cap O_b = \emptyset }[/math]이고, 원소가 공집합에 포함된다는 것은 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 위상적 성질이다.

위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 하우스도르프 공간이고 [math]\displaystyle{ Y }[/math]가 위상공간이며, [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]는 위상동형사상이라고 하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ y_1,y_2\in Y }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]이 존재하므로 [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\in X }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ y_1\ne y_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]이 일대일 함수이기 때문에 [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_1)\ne f^{-1}(y_2) }[/math]이므로 하우스도르프 공간의 정의에 의해 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\in X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_1)\in U,f^{-1}(y_2)\in V }[/math]이고 [math]\displaystyle{ U \cap V=\emptyset }[/math]이다. 그러면 [math]\displaystyle{ y_1=f(f^{-1}(y_1))\in f(U) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y_2=f(f^{-1}(y_2))\in f(V) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]이 연속이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 열린 사상이고 따라서 [math]\displaystyle{ f(U),f(V) }[/math]는 열린 집합이다. [math]\displaystyle{ y'\in f(U)\cap f(V) }[/math]인 [math]\displaystyle{ y'\in Y }[/math]가 존재한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ y'\in f(U) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y'\in f(V) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ y'=f(x_U),y'=f(x_V) }[/math]인 [math]\displaystyle{ x_U\in U, x_V\in V }[/math]가 존재하고, [math]\displaystyle{ U,V }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ x_U\ne x_V }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일 함수라는 것에 모순이므로 [math]\displaystyle{ f(U)\cap f(V)=\emptyset }[/math]이어야 한다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 계승적 성질이다.

하우스도르프 공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분공간을 [math]\displaystyle{ A }[/math]라고 하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U,b\in V }[/math]이다. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ U\cap A,V\cap A }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 서로소인 열린 집합이고 [math]\displaystyle{ a\in U\cap A,b\in V\cap A }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 하우스도르프 공간이다.