부분공간 위상

정의

[math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]가 위상공간이고 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합이라고 하자. 이때

[math]\displaystyle{ \mathcal{T}'=\{O\cap A:O\in T\} }[/math]

를 부분공간 위상(subspace topology), 상대위상(relative topology), 또는 유도위상(induced topology)이라고 하고, [math]\displaystyle{ \mathcal{T}' }[/math]의 원소는 상대적 열린 집합(relatively open set)이라고 한다.

부분공간 위상은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 위상이다. 이 사실은

• [math]\displaystyle{ \emptyset,X\in \mathcal{T} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \emptyset=\emptyset \cap A \in \mathcal{T}' }[/math]이고 [math]\displaystyle{ A=X \cap A \in \mathcal{T}' }[/math]이다.
• 임의의 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 상대적 열린집합족 [math]\displaystyle{ \{O_\alpha \cap A\}_{\alpha \in I} }[/math]에 대해

  [math]\displaystyle{ \bigcup_{\alpha\in I} (O_\alpha \cap A)=\left(\bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha\right) \cap A \in \mathcal{T}' }[/math]

• 임의의 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 유한 상대적 열린집합족 [math]\displaystyle{ \{O_i \cap A\}_{i=1}^n }[/math]에 대해

  [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^n (O_i \cap A)=\left(\bigcap_{i=1}^n O_i\right) \cap A \in \mathcal{T}' }[/math]

로부터 얻을 수 있다.

계승적 성질

이와 관련한 내용은 계승적 성질에서 볼 수 있습니다.

위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 가질 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분공간 [math]\displaystyle{ A }[/math] 또한 성질 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 가지면 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 계승적 성질(hereditary property)이라고 한다.