Square, Regular Quadrilateral
정의[편집 | 원본 편집]
사각형 중, 네 각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형을 의미한다. 직사각형과 마름모의 특수한 형태가 된다. 이런 이유로 직사각형과 마름모의 두 성질을 모두 가진다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 네 각은 모두 직각이다.
- 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
- 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
- 두 대각선이 서로를 이등분한다.
- 두 대각선의 길이가 같다.
- 원에 내접한다.
- 두 대각선은 서로 직교한다.
- 내접원이 반드시 존재한다.
- 정사각형의 대각선의 길이는 한변 길이의 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]배이다.
증명[편집 | 원본 편집]
1. 사각형의 내각의 합은 360도 이다. 따라서 한 각의 크기는 [math]\displaystyle{ 360\div4=90^\circ }[/math]이다.
2. 모든 각이 직각이므로, 엇각이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
3, 4. 2번 성질에 의해 정사각형은 평행사변형이다. 더 자세한 것은 평행사변형 참조.
5. [math]\displaystyle{ \angle{C}=\angle{D},\,\overline{AD}=\overline{BC} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math]공통이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{ACD}\cong\triangle{BDC} }[/math]. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AC}=\overline{BD} }[/math]
6. 두 대각선의 길이가 같고, 두 대각선이 서로를 이등분하므로 두 대각선의 교점은 정사각형의 각 꼭짓점에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 이는 외접원이 존재하기 위한 정의에 맞으므로, 정사각형은 직사각형과 마찬가지로 반드시 원에 내접한다.
7. 평행사변형이기 때문에 두 대각선은 서로를 이등분한다. 또한 네 변의 길이가 모두 같기 때문에 두 대각선으로 인해 생기는 네 개의 삼각형은 모두 합동이다. 따라서 두 대각선이 이루는 교각은 [math]\displaystyle{ 360\div4=90^\circ }[/math]이다.
8. 두 대각선으로 인해 생기는 네 개의 삼각형은 모두 합동이다. 따라서 두 대각선의 교점에서 각 변에 내린 수선의 길이도 동일하다. 도형 내에 각 변까지의 거리가 같은 점이 존재하는 것은 내접원이 존재하기 위한 조건이므로, 정사각형은 마름모와 마찬가지로 반드시 내접원을 가진다.
넓이[편집 | 원본 편집]
그냥 밑변×높이로 넓이를 구하면 된다. 이외에 정사각형은 마름모의 특수한 형태에 해당하기 때문에 마름모의 면적을 구하는 방법을 사용하여도 면적을 구할 수 있다.