약수함수

정의

복소수 \(x\)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 산술적 함수

[math]\displaystyle{ \sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x }[/math]

을 약수함수(divisor function)라고 한다. 이때 \(d\)는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 \(n\)이 주어졌을 때 \(n\)의 양의 약수의 \(x\)제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 함수이다.

성질

• \(x\)가 실수이면 약수함수는 곱셈적 함수이다.

임의의 \(x\)에 대해 [math]\displaystyle{ \sigma_x (1)=1 }[/math]인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 \(m,n\)을 생각하자. 이때 \(m,n\)의 소인수분해는 유일하게 존재하므로 \(m,n\)의 소인수를 각각 \(p_1,p_2,\cdots,p_s\)와 \(q_1,q_2,\cdots,q_t\)로 표기하면

[math]\displaystyle{ m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s} }[/math]

[math]\displaystyle{ n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t} }[/math]

와 같이 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sigma_x(mn)&=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'} \right)^x\\ &=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}\right)^x\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'}\right)^x\\ &=\sigma_x(m)\sigma_x(n) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 \(\sigma_x\)는 곱셈적 함수이다.

특수한 경우

\(\sigma_0(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 개수를 나타내며, \(\tau(n)\)으로도 표기한다.

\(\sigma_1(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 합을 나타내며, \(\sigma(n)\)으로도 표기한다.

양의 정수 \(n\)에 대해

• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\lt 2n }[/math]이면 \(n\)을 부족수(deficient number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(n)=2n }[/math]이면 \(n\)을 완전수(perfect number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\gt 2n }[/math]이면 \(n\)을 풍족수(abundant number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(\sigma(n))=2n }[/math]이면 \(n\)을 초완전수(super-perfect number)라고 한다.

한편 서로 다른 양의 정수 \(m,n\)에 대해 \(\sigma(m)=\sigma(n)=m+n\)이면 \(m\)과 \(n\)은 친화수(amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.