약수함수

정의

복소수 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 산술적 함수

[math]\displaystyle{ \sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x }[/math]

을 약수함수(divisor function)라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ d }[/math]는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 주어졌을 때 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 [math]\displaystyle{ x }[/math]제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 함수이다.

성질

• [math]\displaystyle{ x }[/math]가 실수이면 약수함수는 곱셈적 함수이다.

임의의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sigma_x (1)=1 }[/math]인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]을 생각하자. 이때 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]의 소인수분해는 유일하게 존재하므로 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]의 소인수를 각각 [math]\displaystyle{ p_1,p_2,\cdots,p_s }[/math]와 [math]\displaystyle{ q_1,q_2,\cdots,q_t }[/math]로 표기하면

[math]\displaystyle{ m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s} }[/math]

[math]\displaystyle{ n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t} }[/math]

와 같이 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sigma_x(mn)&=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'} \right)^x\\ &=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}\right)^x\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'}\right)^x\\ &=\sigma_x(m)\sigma_x(n) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sigma_x }[/math]는 곱셈적 함수이다.

특수한 경우

[math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 개수를 나타내며, [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]으로도 표기한다.

[math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 합을 나타내며, [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]으로도 표기한다.

양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해

• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\lt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 부족수(deficient number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(n)=2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 완전수(perfect number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\gt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 풍족수(abundant number)라고 한다.
• [math]\displaystyle{ \sigma(\sigma(n))=2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 초완전수(super-perfect number)라고 한다.

한편 서로 다른 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sigma(m)=\sigma(n)=m+n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]과 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 친화수(amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.