곱셈적 함수

Multiplicative function

정의

곱셈적 함수를 정의하기 전에 먼저 수론적 함수(arithmetic function)를 정의해야 한다. 수론적 함수란, 모든 양의 정수에 대해 정의되어 있는 함수를 말한다. 다르게 표현하면 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^+\subseteq D }[/math]인 함수. 수론적 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 서로소인 두 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,\,n }[/math]에 대해 항상 [math]\displaystyle{ f\left(mn\right)=f\left(m\right)f\left(n\right) }[/math]이 성립한다면 그 함수는 곱셈적 함수가 된다. 만약 [math]\displaystyle{ m,\,n }[/math]이 서로소이지 않아도 [math]\displaystyle{ f\left(mn\right)=f\left(m\right)f\left(n\right) }[/math]가 성립한다면 그 함수는 완전 곱셈적(completely multiplicative)라 한다.

Summatory function이란 것도 있는데 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 수론적 함수일 때, [math]\displaystyle{ F\left(n\right)=\sum_{d\mid n}f\left(d\right) }[/math]를 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 summatory function이라 부른다.

예시

• 항등함수: 정의역 조건만 만족한다면 완전 곱셈적 함수가 된다.
• [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=0,\,f\left(x\right)=1 }[/math]: 정의역 조건만 만족하면 완전 곱셈적 함수.
• 오일러 피 함수: 그냥 곱셈적 함수. 증명은 항목 참조.
• 약수함수: 그냥 곱셈적 함수. 증명은 항목 참조.

성질

• [math]\displaystyle{ f }[/math]가 곱셈적 함수이고 [math]\displaystyle{ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} }[/math]이 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 소인수분해라면, [math]\displaystyle{ f\left(n\right)=f\left(p_1^{a_1}\right)f\left(p_2^{a_2}\right)\cdots f\left(p_k^{a_k}\right) }[/math]이 성립한다.
  • 수학적 귀납법을 이용해 증명한다. 만약 [math]\displaystyle{ n=p_1^{a_1} }[/math]이라면 당연히 성립한다. 위 명제가 1이상의 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 성립한다 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}p_{k+1}^{a_{k+1}} }[/math]라면, [math]\displaystyle{ \gcd\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ f\left(n\right)=f\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=f\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\right)f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)=f\left(p_1^{a_1}\right)f\left(p_2^{a_2}\right)\cdots f\left(p_k^{a_k}\right)f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right) }[/math]이 되어 k+1일 때도 성립한다.
• [math]\displaystyle{ f }[/math]가 곱셈적 함수이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]의 summatory function [math]\displaystyle{ F }[/math]도 곱셈적 함수이다.
  • 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,\,n }[/math]가 서로소라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ F\left(mn\right)=\sum_{d\mid mn}f\left(d\right) }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ d_1\mid m,\,d_2\mid n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d_1d_2\mid mn }[/math]이고, 역으로 [math]\displaystyle{ d\mid mn }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d_1\mid m,\,d_2\mid n,\,d_1d_2=d }[/math]인 [math]\displaystyle{ d_1,\,d_2 }[/math]가 유일하게 존재한다. 즉, [math]\displaystyle{ \left\{d\in\mathbb{Z}^+\mid d\mid mn\right\}=\left\{d_1d_2\in\mathbb{Z}^+\mid d_1\mid m,\,d_2\mid n\right\} }[/math]. 따라서, [math]\displaystyle{ F\left(mn\right)=\sum_{d\mid mn}f\left(d\right)=\sum_{d_1\mid m,\,d_2\mid n}f\left(d_1d_2\right)=\sum_{d_1\mid m,\,d_2\mid n}f\left(d_1\right)f\left(d_2\right) }[/math]이다 ([math]\displaystyle{ \gcd\left(m,n\right)=1 }[/math]이기 때문에 [math]\displaystyle{ \gcd\left(d_1,\,d_2\right)=1 }[/math]). 곧, 준식 [math]\displaystyle{ =\left(\sum_{d_1\mid m}f\left(d_1\right)\right)\left(\sum_{d_2\mid n}f\left(d_2\right)\right)=F\left(m\right)F\left(n\right) }[/math].