약수함수: 두 판 사이의 차이

2021년 5월 11일 (화) 08:38 기준 최신판

정의[편집 | 원본 편집]

복소수 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 산술적 함수

[math]\displaystyle{ \sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x }[/math]

을 약수함수(divisor function)라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ d }[/math]는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 주어졌을 때 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 [math]\displaystyle{ x }[/math]제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 함수이다.

성질[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ x }[/math]가 실수이면 약수함수는 곱셈적 함수이다.

임의의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sigma_x (1)=1 }[/math]인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]을 생각하자. 이때 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]의 소인수분해는 유일하게 존재하므로 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]의 소인수를 각각 [math]\displaystyle{ p_1,p_2,\cdots,p_s }[/math]와 [math]\displaystyle{ q_1,q_2,\cdots,q_t }[/math]로 표기하면

[math]\displaystyle{ m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s} }[/math]

[math]\displaystyle{ n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t} }[/math]

와 같이 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sigma_x(mn)&=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'} \right)^x\\ &=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}\right)^x\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'}\right)^x\\ &=\sigma_x(m)\sigma_x(n) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sigma_x }[/math]는 곱셈적 함수이다.

특수한 경우[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 개수를 나타내며, [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]으로도 표기한다.^[1]

[math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 합을 나타내며, [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]으로도 표기한다.^[1]

양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \sigma(n)\lt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 부족수(deficient number)라고 한다.
[math]\displaystyle{ \sigma(n)=2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 완전수(perfect number)라고 한다.
[math]\displaystyle{ \sigma(n)\gt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 풍족수(abundant number)라고 한다.
[math]\displaystyle{ \sigma(\sigma(n))=2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 초완전수(super-perfect number)라고 한다.

한편 서로 다른 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sigma(m)=\sigma(n)=m+n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ m }[/math]과 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 친화수(amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.

각주

↑ ^1.0 ^1.1 김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. ISBN 9788961055956

[kimpark-1] 1.0 ^1.1 김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. ISBN 9788961055956

[1]

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 == 정의 ==
-[[복소수]] \(x\)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 [[산술적 함수]]
+[[복소수]] <math>x</math>가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 [[산술적 함수]]
 :<math>\sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x</math>
-을 '''약수함수(divisor function)'''라고 한다. 이때 \(d\)는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 \(n\)이 주어졌을 때 \(n\)의 양의 약수의 \(x\)제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 [[함수 (수학)|함수]]이다.
+을 '''약수함수(divisor function)'''라고 한다. 이때 <math>d</math>는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 <math>n</math>이 주어졌을 때 <math>n</math>의 양의 약수의 <math>x</math>제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 [[함수]]이다.
 == 성질 ==
-* \(x\)가 [[실수]]이면 약수함수는 [[곱셈적 함수]]이다.
+* <math>x</math>가 [[실수]]이면 약수함수는 [[곱셈적 함수]]이다.
-임의의 \(x\)에 대해 <math>\sigma_x (1)=1</math>인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 \(m,n\)을 생각하자. 이때 \(m,n\)의 [[소인수분해]]는 유일하게 존재하므로 \(m,n\)의 소인수를 각각 \(p_1,p_2,\cdots,p_s\)와 \(q_1,q_2,\cdots,q_t\)로 표기하면
+임의의 <math>x</math>에 대해 <math>\sigma_x (1)=1</math>인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 <math>m,n</math>을 생각하자. 이때 <math>m,n</math>의 [[소인수분해]]는 유일하게 존재하므로 <math>m,n</math>의 소인수를 각각 <math>p_1,p_2,\cdots,p_s</math>와 <math>q_1,q_2,\cdots,q_t</math>로 표기하면
 : <math>m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}</math>
 : <math>n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t}</math>
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 &=\sigma_x(m)\sigma_x(n)
 \end{align}</math>
-이다. 따라서 \(\sigma_x\)는 곱셈적 함수이다.
+이다. 따라서 <math>\sigma_x</math>는 곱셈적 함수이다.
 == 특수한 경우 ==
-\(\sigma_0(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 개수를 나타내며, \(\tau(n)\)으로도 표기한다.<ref name="kimpark">김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. {{ISBN|9788961055956}}</ref>
+<math>\sigma_0(n)</math>은 <math>n</math>의 양의 약수의 개수를 나타내며, <math>\tau(n)</math>으로도 표기한다.<ref name="kimpark">김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. {{ISBN|9788961055956}}</ref>
-\(\sigma_1(n)\)은 \(n\)의 양의 약수의 합을 나타내며, \(\sigma(n)\)으로도 표기한다.<ref name="kimpark" />
+<math>\sigma_1(n)</math>은 <math>n</math>의 양의 약수의 합을 나타내며, <math>\sigma(n)</math>으로도 표기한다.<ref name="kimpark" />
-양의 정수 \(n\)에 대해
+양의 정수 <math>n</math>에 대해
-* <math>\sigma(n)<2n</math>이면 \(n\)을 [[부족수]](deficient number)라고 한다.
+* <math>\sigma(n)<2n</math>이면 <math>n</math>을 [[부족수]](deficient number)라고 한다.
-* <math>\sigma(n)=2n</math>이면 \(n\)을 [[완전수]](perfect number)라고 한다.
+* <math>\sigma(n)=2n</math>이면 <math>n</math>을 [[완전수]](perfect number)라고 한다.
-* <math>\sigma(n)>2n</math>이면 \(n\)을 [[풍족수]](abundant number)라고 한다.
+* <math>\sigma(n)>2n</math>이면 <math>n</math>을 [[풍족수]](abundant number)라고 한다.
-* <math>\sigma(\sigma(n))=2n</math>이면 \(n\)을 [[초완전수]](super-perfect number)라고 한다.
+* <math>\sigma(\sigma(n))=2n</math>이면 <math>n</math>을 [[초완전수]](super-perfect number)라고 한다.
-한편 서로 다른 양의 정수 \(m,n\)에 대해 \(\sigma(m)=\sigma(n)=m+n\)이면 \(m\)과 \(n\)은 [[친화수]](amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.
+한편 서로 다른 양의 정수 <math>m,n</math>에 대해 <math>\sigma(m)=\sigma(n)=m+n</math>이면 <math>m</math>과 <math>n</math>은 [[친화수]](amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.
 {{각주}}
 [[분류:정수론]]